[论文解读] Consecutive patterns in inversion sequences II: avoiding patterns of relations

Juan S. Auli, Sergi Elizalde|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 2019

Advanced Combinatorial Mathematics被引用 9

一句话总结

本文研究了排列逆序序列中连续关系模式，其中模式由三个连续项之间的二元关系（例如 <, >, =）定义。通过与格路的双射关系及形式组合学方法，作者枚举了避免此类模式的逆序序列，揭示了其与卡塔兰数、斐波那契数及中心多项式数的联系，并利用生成函数与双射构造证明了威尔夫等价性与单峰性猜想。

ABSTRACT

Inversion sequences are integer sequences $e=e_{1}e_{2}\\dots e_{n}$ such that $0\\leq e_{i}&lt;i$ for each $i$. The study of patterns in inversion sequences was initiated by Corteel--Martinez--Savage--Weselcouch and Mansour--Shattuck in the classical (non-consecutive) case, and later by Auli--Elizalde in the consecutive case, where the entries of a pattern are required to occur in adjacent positions. In this paper we continue this investigation by considering {\\em consecutive patterns of relations}, in analogy to the work of Martinez--Savage in the classical case. Specifically, given two binary relations $R_{1},R_2\\in\\{\\leq,\\geq,&lt;,&gt;,=,\ eq\\}$, we study inversion sequences $e$ with no subindex $i$ such that $e_{i}R_{1}e_{i+1}R_{2}e_{i+2}$. By enumerating such inversion sequences according to their length, we obtain well-known quantities such as Catalan numbers, Fibonacci numbers and central polynomial numbers, relating inversion sequences to other combinatorial structures. We also classify consecutive patterns of relations into Wilf equivalence classes, according to the number of inversion sequences avoiding them, and into more restrictive classes that consider the positions of the occurrences of the patterns. As a byproduct of our techniques, we obtain a simple bijective proof of a result of Baxter--Shattuck and Kasraoui about Wilf-equivalence of vincular patterns, and we prove a conjecture of Martinez and Savage, as well as related enumeration formulas for inversion sequences satisfying certain unimodality conditions.

研究动机与目标

• 通过引入连续项之间由三个二元关系（例如 ≤, <, =）定义的模式，扩展对逆序序列中连续模式的研究。
• 枚举避免此类连续关系模式的逆序序列，将其计数与卡塔兰数、斐波那契数等著名组合序列联系起来。
• 基于避免计数将这些模式分类为威尔夫等价类，并基于出现位置进一步细分类别。
• 证明 Martinez 和 Savage 关于连通模式威尔夫等价性的猜想，并建立单峰逆序序列的枚举公式。
• 通过所构建的框架，为 Baxter–Shattuck 与 Kasraoui 关于威尔夫等价性的结果提供双射证明。

提出的方法

• 将连续关系模式定义为三元组 (R₁, R₂, R₃)，其中 Rᵢ ∈ {≤, ≥, <, >, =, ≠, −}，并研究在连续位置中不包含此类三元组的逆序序列。
• 将逆序序列表示为具有水平步（E）、上步（N）和下步（Dₜ）的下对角线格路，并使用多重标记的 Dyck 路径编码避免条件。
• 构建避免特定 (R₁, R₂, R₃) 的逆序序列与特定格路类（如 R′ₙ 和 R̃′ₙ）之间的显式双射，以推导生成函数。
• 使用形式方法与转移矩阵技术，推导出此类逆序序列数量的生成函数 I_(R₁,R₂,R₃)(z,t)，其中 t 标记长度 n。
• 应用这些生成函数计算精确计数，并通过比较不同关系三元组的避免计数来证明威尔夫等价性。
• 通过生成函数分析与小规模 n 的计算，证明距离最大值（dist）统计量的分布具有单峰性与对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些连续关系模式 (R₁, R₂, R₃) 会导致避免此类模式的逆序序列计数与卡塔兰数或斐波那契数等已知组合序列一致？
• RQ2 如何为连续关系模式定义并分类威尔夫等价性？其背后的对称性或结构性质是什么？
• RQ3 能否利用连续关系模式的框架证明 Martinez 和 Savage 关于连通模式威尔夫等价性的猜想？
• RQ4 给定 (R₁, R₂, R₃) 模式的避免逆序序列数量的生成函数是什么？它与格路枚举有何关联？
• RQ5 对于避免 (R₁, R₂, R₃) 模式的逆序序列，距离最大值（dist）统计量的分布是否具有单峰性或对称性？

主要发现

• 避免 (>, <, −) 的逆序序列的生成函数为 I_(>,<,−)(z,t) = [1 + z(2−t) − z²(1−t) − (1−z)√((1+z−zt)² − 4z(1−z+zt)/(1−z))]/(2z(2−z))，当 t=1 时，其为有理生成函数。
• 避免 (≥, ≠, −) 的生成函数为 I_(≥,≠,−)(z,t) = (1−z−zt+2z²t)/((1−z)(1−zt)²)，显示出与有理生成函数及单峰结构的直接关联。
• 避免 (=, <, −) 的生成函数为 I_(=,<,−)(z,t) = (1−z)/(1−z−zt)，这意味着长度为 n 的此类逆序序列的数量为 1 + t(t+1)^{n−1}（n ≥ 1），证实了 dist 分布的对称性。
• 本文证明，基于小 n 的计算与生成函数分析，表 2 中列出的所有模式的 dist 统计量分布均为单峰。
• 建立了某些连通模式威尔夫等价性的双射证明，通过逆序序列框架确认了 Baxter–Shattuck 与 Kasraoui 的结果。
• 作者通过证明 (>, ≤, −) 与 (>, <, −) 的避免计数相等，并将其与已知组合类关联，从而证明了 Martinez–Savage 关于连通模式威尔夫等价性的猜想。