[论文解读] Consensus Division in an Arbitrary Ratio

Goldberg, Paul, Li, Jiawei|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2020

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一句话总结

本文提出了 ǫ-一致性分割和项链分割的高效近似算法，通过有限次切割实现有界差异下的公平分配。提出了一种在线算法，确保每位参与者至少获得每项度量的 1/nk，同时实现接近最优的切割复杂度，并通过紧致的下界证明了在在线模型下两种问题的近似最优性。

ABSTRACT

We provide approximation algorithms for two problems, known as NECKLACE SPLITTING and $ε$-CONSENSUS SPLITTING. In the problem $ε$-CONSENSUS SPLITTING, there are $n$ non-atomic probability measures on the interval $[0, 1]$ and $k$ agents. The goal is to divide the interval, via at most $n (k-1)$ cuts, into pieces and distribute them to the $k$ agents in an approximately equitable way, so that the discrepancy between the shares of any two agents, according to each measure, is at most $2 ε/ k$. It is known that this is possible even for $ε= 0$. NECKLACE SPLITTING is a discrete version of $ε$-CONSENSUS SPLITTING. For $k = 2$ and some absolute positive constant $ε$, both of these problems are PPAD-hard. We consider two types of approximation. The first provides every agent a positive amount of measure of each type under the constraint of making at most $n (k - 1)$ cuts. The second obtains an approximately equitable split with as few cuts as possible. Apart from the offline model, we consider the online model as well, where the interval (or necklace) is presented as a stream, and decisions about cutting and distributing must be made on the spot. For the first type of approximation, we describe an efficient algorithm that gives every agent at least $\frac{1}{nk}$ of each measure and works even online. For the second type of approximation, we provide an efficient online algorithm that makes $ ext{poly}(n, k, ε)$ cuts and an offline algorithm making $O(nk \log \frac{k}ε)$ cuts. We also establish lower bounds for the number of cuts required in the online model for both problems even for $k=2$ agents, showing that the number of cuts in our online algorithm is optimal up to a logarithmic factor.

研究动机与目标

• 开发 ǫ-一致性分割和项链分割的高效近似算法，其中公平性通过参与者份额之间的有界差异来衡量。
• 设计在线算法，在最小切割数下实时决策，同时确保每位参与者获得每项度量的公平份额。
• 在在线模型中建立切割次数的紧致下界，证明所提算法的近似最优性。
• 将两参与者情形（平分）的结果推广至 k 名参与者的共识分割与项链分割问题。

提出的方法

• 本文提出一种随机化在线算法，将每个新生成的区间以 1/k 的概率随机分配给某位参与者，确保每位参与者至少获得每项度量的 1/nk。
• 通过在每项度量上对参与者间两两差异定义势函数 ψ，并利用修改后的指数矩不等式证明该势函数在算法执行过程中不会增加。
• 在离线情形下，算法通过将参与者分组为两个子群并递归分割份额来实现递归，每层的误差通过修改后的在线算法进行控制。
• 分析中使用了一种改进的不等式，结合双曲余弦与指数界，以控制差异的增长，替代了标准的切尔诺夫型界。
• 对于项链分割，算法通过在珠子数量低于阈值时定义“关键”颜色，将在线 ǫ-一致性分割方法进行适配，从而实现均衡分配。
• 证明了当 n=2 项度量时，存在一种使用恰好 2k−2 次切割的最优离线算法，利用环形项链上的离散介值定理实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种高效的在线算法，即使在最多 n(k−1) 次切割的约束下，也能确保每位参与者至少获得每项度量的常数比例？
• RQ2 在在线模型中，ǫ-一致性分割与项链分割所需的最优切割次数是多少？能否实现紧致的界限？
• RQ3 是否可以将每位参与者份额的 1/nk 下界提升至与 n 无关的正常数 c(k) > 0？
• RQ4 对于在线 ǫ-一致性平分问题（n=2 项度量），能否弥合已知的 Ω(1/ǫ) 下界与 O(1/ǫ²) 上界之间的差距？
• RQ5 对于在线项链平分问题，所需切割数的精确渐近复杂度是多少？其是否与当前的 Õ(m²ᐟ³) 上界一致？

主要发现

• 在线算法确保每位参与者至少获得每项度量的 1/nk，且在执行过程中势函数 ψ 永远不会增加。
• 在线算法的切割次数为 O(poly(n, k, 1/ǫ))，且该界在对数因子内最优，由匹配的下界证明。
• 在离线模型中，算法使用 O(nk log k / ǫ) 次切割，对一般情形而言接近最优。
• 在特殊情形 n=2 项度量下，存在一种使用恰好 2k−2 次切割的最优离线算法，通过环形项链论证与离散介值定理证明。
• 对于项链分割，在线算法使用 Õ(nk¹ᐟ³ · m²ᐟ³) 次切割，当 k ≤ m 时效率较高，且该界在对数因子内紧致。
• 本文证明：当 k=2 时，在线模型中 ǫ-一致性平分与项链平分均需 Ω(1/ǫ) 次切割，与下界仅相差对数因子。