[论文解读] Consensus for switched networks with unknown but bounded disturbances

Dario Bauso, L. Giarré+1 more|ArXiv.org|Dec 28, 2006

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 14被引用 6

一句话总结

该论文针对具有未知但有界（UBB）扰动的切换网络，提出了并解决了 $ε$-一致性问题，其中各 agent 会收敛至半径为 $ε$ 的管状区域，而非精确一致。通过使用线性时不变协议和一种‘懒惰规则’进行平均值估计，作者证明了系统在最小驻留时间约束下，可实现有限时间收敛至由所有可能拓扑中最小半径定义的管状区域，且收敛性在扰动幅值有界时得到保证。

ABSTRACT

We consider stationary consensus protocols for networks of dynamic agents with switching topologies. The measure of the neighbors' state is affected by Unknown But Bounded disturbances. Here the main contribution is the formulation and solution of what we call the $ε$-consensus problem, where the states are required to converge in a tube of ray $ε$ asymptotically or in finite time.

研究动机与目标

• 解决多智能体网络在切换拓扑和未知但有界（UBB）测量扰动下的共识挑战。
• 将 $ε$-一致性问题表述为精确一致的松弛形式，即各 agent 收敛至半径为 $ε$ 的管状区域，而非共同值。
• 提供在精确一致不可达（因扰动存在）时，各 agent 实现有限时间收敛至最小半径管状区域的条件。
• 分析扰动界和切换驻留时间对收敛管状区域可实现半径的影响。
• 通过推导确保有限时间收敛至鲁棒一致管状区域的最小驻留时间，将固定拓扑结果扩展至切换网络。

提出的方法

• 将网络建模为具有时变无向连通拓扑的切换系统，使用切换函数 $σ(t)$ 和最小驻留时间 $\tau > 0$。
• 引入李雅普诺夫函数 $\mathcal{V}(x) = \max_i x_i - \min_i x_i$，用于度量状态向量的直径，并证明其在协议下非递增。
• 定义平衡点的多面体集 $P(Q, E_k)$ 和管状区域 $S(Q, E_k, \nu)$，其中最大分量差被限制在 $L(Q, E_k) + 2\nu$ 内，$\nu$ 与扰动界相关。
• 为每个 agent 提出一种‘懒惰规则’，从一组有限候选值中估计平均值，选择与当前状态最接近的值。
• 证明：对于给定的扰动界 $\nu$，只要驻留时间超过 $\tau(\nu, \gamma) = \max_k q_k(\nu, \gamma)$，系统将在有限时间内收敛至所有管状区域的交集 $T = \bigcap_{E_k \in \mathcal{E}} S(D, E_k, \nu)$。
• 采用压缩论证：若 $\mathcal{V}(x(t_{s+1})) \leq \gamma \mathcal{V}(x(t_s))$ 或 $x(t_{s+1}) \in P(D, E_k) + \nu$，则 $\mathcal{V}(x(t))$ 最终将保持在 $L(Q, E_k) + 2\nu$ 以内。

实验结果

研究问题

• RQ1 当邻居状态测量受未知但有界扰动影响时，是否可在切换网络中实现一致性？
• RQ2 在给定扰动界和网络拓扑的条件下，agent 可收敛至的最小可能半径 $\epsilon$ 的管状区域是多大？
• RQ3 最小驻留时间如何影响切换网络中收敛管状区域的可实现半径？
• RQ4 在何种条件下，agent 可在 UBB 扰动下实现 $0$-一致性（即精确一致）？
• RQ5 估计规则的选择（如‘懒惰规则’）在扰动存在时如何影响收敛特性？

主要发现

• 系统可实现有限时间收敛至管状区域 $T = \bigcap_{E_k \in \mathcal{E}} S(D, E_k, \nu)$，其中 $\nu$ 由扰动界导出，确保 $\epsilon$-一致性，且 $\epsilon = \min_k \{\text{radius of } S(D, E_k, \nu)\}$。
• 对于固定拓扑，收敛管状区域的最小可实现半径为 $L(Q, E_k) + 2\nu$，其中 $L(Q, E_k)$ 是拓扑 $E_k$ 对应的平衡点集合的直径。
• 若驻留时间 $\hat{\tau}(\nu, \gamma)$ 超过 $\max_k q_k(\nu, \gamma)$，则可保证有限时间收敛，其中 $\gamma \in (0,1)$ 控制压缩速率。
• 更长的驻留时间可导致收敛至更小半径的管状区域，体现了切换频率与共识精度之间的权衡。
• 精确 $0$-一致性仅在特定扰动实现下可能（如对称或零均值扰动），而一般 UBB 扰动会阻止精确收敛。
• 由于切换存在，系统可能在管状区域内无限振荡，如示例 4 所示，轨迹沿线段振荡而无法达到固定点。