[论文解读] Consequences of the product rule in Stieltjes differentiability

Francisco J. Fernández, Ignacio Márquez Albés+1 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2022

Functional Equations Stability Results被引用 4

一句话总结

本文研究了在Stieltjes微分下函数乘积的高阶可微性，推导出一种修正的乘积法则，其中包含涉及跳跃函数Δg和点位移t*的附加项。主要贡献在于建立了乘积的一阶Stieltjes导数g-连续性的必要且充分条件，该条件取决于跳跃函数Δg的行为以及函数在t*处的导数行为。

ABSTRACT

This work revolves around the study of differentiability in the Stieltjes sense of a product of functions. A formula for the first order derivative has been obtained in the past, which is similar to the usual one with some extra terms in its expression. The aim of this paper is to take this behavior into account to study under which conditions we can guarantee the existence of higher order derivatives, while obtaining some other interesting results for the Stieltjes derivative along the way. We also investigate the regularity of the product of two functions.

研究动机与目标

• 研究两个g-可微函数的乘积在何种条件下具有高阶Stieltjes导数。
• 分析点位移t*和跳跃函数Δg在Stieltjes导数乘积法则中的作用。
• 确定Stieltjes导数的乘积保持g-连续性的条件，特别关注Δg*和函数在t*处取值的行为。
• 为两个属于𝒞g¹类的函数的乘积建立其仍属于同一类的必要且充分条件，解决乘积下标准代数结构的失效问题。
• 阐明Δg*和f*（f在t*处的取值）在Stieltjes微积分中的可微性特征，这些特征对高阶分析至关重要。

提出的方法

• 推导出Stieltjes导数的广义乘积法则：(f₁f₂)′_g(t) = f′₁(t)f₂(t*) + f′₂(t)f₁(t*) + f′₁(t)f′₂(t)Δg(t*)，其中t*依赖于t。
• 引入f*（f在t*处的取值）的概念并分析其g-可微性，表明f*仅在特定正则性条件下为g-可微。
• 研究Δg*（跳跃函数在t*处的取值）的g-可微性，并通过反例说明Δg*不一定是g-可微的。
• 使用测度论工具，包括μg-可积性和g-几乎处处收敛，分析导数项的连续性和可积性。
• 应用引理2.14关于g-连续性及紧集上∑Δg(s)有限性的结论，证明主要的连续性结果。
• 采用反证法，通过序列{tₙ}满足g(tₙ)→g(t)且|h(tₙ)|≥ε₀，证明∑Δg(s) < ∞是导数项g-连续性的必要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，两个g-可微函数的乘积是二阶g-可微的？
• RQ2 函数f*（f在t*处的取值）在点t处何时为g-可微？
• RQ3 跳跃函数Δg*何时为g-可微，它在乘积法则中起什么作用？
• RQ4 乘积的一阶Stieltjes导数g-连续性的必要且充分条件是什么？
• RQ5 Δg在Dg上的行为如何影响乘积导数的正则性？

主要发现

• 乘积f₁f₂的一阶Stieltjes导数由一个修正的乘积法则给出，其中包含f₂(t*)、f₁(t*)和Δg(t*)，引入了经典微积分中不存在的新项。
• 函数f*（f在t*处的取值）仅在f在t*处连续且f′_g(t) = 0时才在t处为g-可微，这是一个限制性条件。
• 跳跃函数Δg*不一定是g-可微的；反例表明，即使g是非减且左连续的，Δg*也可能不具有g-可微性。
• 当t ∈ ((a*,b) ∩ A_g) \ H_g时，(f₁f₂)′_g的g-连续性成立当且仅当lim_{s→t} (f′₁(s)f′₂(s)Δg(s)) = 0，这等价于∑_{s∈[a,b]∩D_g} Δg(s) < ∞的条件。
• 条件∑_{s∈[a,b]∩D_g} Δg(s) < ∞对导数项h = f′₁f′₂Δg*的g-连续性而言，既是必要也是充分的。
• 该结果推广了[4, 命题3.17]，在不需任一函数经典连续的条件下，提供了必要且充分的条件。