[论文解读] Conservation Laws and Formation of Singularities in Relativistic Theories of Extended Objects

Jens Hoppe|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 1995

Relativity and Gravitational Theory参考文献 2被引用 19

一句话总结

本文利用几何变量——第一基本形式与第二基本形式——形式化了M维扩展物体在M+2维时空中的动力学，表明其运动方程为线性系统的相容性条件，从而导出非局域守恒量。关键结果为：当M=1（弦）时，所有运动必然出现奇点；而当M=2（膜）时，构造出一个以椭圆函数表示的显式非对称解，得到ℝ¹,³中的3重周期性类空极大超曲面。

ABSTRACT

The dynamics of an M-dimensional extended object whose M+1 dimensional world volume in M+2 dimensional space-time has vanishing mean curvature is formulated in term of geometrical variables (the first and second fundamental form of the time-dependent surface $\sum_M$), and simple relations involving the rate of change of the total area of $\sum_M$, the enclosed volume as well as the spatial mean -- and intrinsic scalar curvature, integrated over $\sum_M$, are derived. It is shown that the non-linear equations of motion for $\sum_M(t)$ can be viewed as consistency conditions of an associated linear system that gives rise to the existence of non-local conserved quantities (involving the Christoffel-symbols of the flat M+1 dimensional euclidean submanifold swept out in ${\Bbb R}^{M+1}$). For M=1 one can show that all motions are necessarily singular (the curvature of a closed string in the plane can not be everywhere regular at all times) and for M=2, an explicit solution in terms of elliptic functions is exhibited, which is neither rotationally nor axially symmetric. As a by-product, 3-fold-periodic spacelike maximal hypersurfaces in ${\Bbb R}^{1,3}$ are found.

研究动机与目标

• 以第一和第二基本形式等内在几何变量，形式化M维扩展物体在M+2维时空中的动力学。
• 推导世界体积上总表面积、所围体积以及内蕴曲率的积分形式的守恒律。
• 表明非线性运动方程是关联线性系统的相容性条件，暗示存在非局域守恒量。
• 分析相对论性扩展物体中奇点的形成，特别是M=1和M=2的情形。
• 构造M=2膜的显式解，包括非旋转对称且在ℝ¹,³中具有周期性的类空极大超曲面。

提出的方法

• 将世界体积ℳ ⊂ ℝ¹,ᴹ⁺¹参数化为时间依赖的M维曲面Σᴹ(t)，使用坐标(φ⁰=t, φ¹,…,φᴹ)，并考虑法向演化。
• 利用闵可夫斯基度量ημν与嵌入函数xμ(φ⁰,…,φᴹ)表达ℳ上的诱导度量Gαβ，从而导出体积泛函S = ∫√|G| dφ。
• 从体积泛函的极值性推导运动方程，得到一个一阶系统，其中法向速度ẋ与sinθ成正比，θ与空间度量行列式g相关。
• 引入几何变量gᵣₛ（第一基本形式）、Lᵣₛ（第二基本形式），并利用高斯-柯达齐方程将时间演化与曲率联系起来。
• 利用魏尔斯特拉斯℘-函数构造M=2的显式解，特别是表面周期性演化并形成ℝ¹,³中极大超曲面的情形。
• 证明动力学与一个线性系统一致，其相容性条件导出非线性运动方程，从而通过平坦空间ℝᴹ⁺¹中的克里斯托费尔符号推导出非局域守恒量。

实验结果

研究问题

• RQ1 在M+2维时空中，相对论性扩展物体在何种条件下会发展出其运动中的奇点？
• RQ2 这些物体的动力学能否以第一和第二基本形式等几何不变量重新表述？
• RQ3 与非线性运动方程相关的线性系统中，会涌现出哪些守恒量？
• RQ4 能否为M=2膜构造出显式、非平凡的解，特别是非旋转对称或非轴对称的解？
• RQ5 ℝ¹,³中类空极大超曲面的几何结构是什么？它们如何从扩展物体的动力学中涌现？

主要发现

• 当M=1（弦）时，所有运动必然出现奇点：平面内闭合弦的曲率无法在所有时间保持正则。
• 当M=2时，利用魏尔斯特拉斯℘-函数构造出显式解，描述一个非旋转对称膜，其形状随时间周期性演化。
• 解(73)描述了ℝ¹,³中一个3重周期性的类空极大超曲面，该曲面为凸形，从t=0时的平坦表面演化至t=ω时的圆点。
• 曲面的平均曲率H与高斯曲率K以℘-函数的对数导数表示，奇点出现在单位立方体的角点与棱边上。
• 解(74)描述了一个膜，其从立方体的上下表面对称演化，在t=ω时汇聚于一点，且曲率发散。
• 通过线性系统的相容性确立了非局域守恒量的存在，守恒密度涉及平坦的M+1维环境空间ℝᴹ⁺¹中的克里斯托费尔符号。