[论文解读] Conservation laws by symmetries and adjoint symmetries

Wen‐Xiu Ma|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 16被引用 4

一句话总结

本文提出了一种直接方法，通过使用对称性与伴随对称性的配对，无需依赖拉格朗日量，来构造微分方程组的守恒律。该方法推广了诺特定理，并成功计算了热方程、伯杰斯方程和科特韦格-德弗里斯（KdV）方程的守恒密度，包括通过Lax对的特征函数与伴随特征函数获得的新守恒密度。

ABSTRACT

Conservation laws are formulated for systems of differential equations by using symmetries and adjoint symmetries, and an application to systems of evolution equations is made, together with illustrative examples. The formulation does not require the existence of a Lagrangian for a given system, and the presented examples include computations of conserved densities for the heat equation, Burgers' equation and the Korteweg-de Vries equation.

研究动机与目标

• 开发一种不依赖拉格朗日形式化的一般框架，用于构造微分方程组的守恒律。
• 建立对称性与伴随对称性之间与守恒律之间的直接对应关系。
• 将该方法应用于演化方程组，特别是标量演化方程，如热方程、伯杰斯方程和KdV方程。
• 通过Lax对的特征函数与伴随特征函数显式计算守恒密度，从而获得新的守恒律。
• 探索伴随对称性的代数结构，包括潜在的李括号定义与封闭性性质。

提出的方法

• 该方法使用Gateaux导数及其伴随来定义微分系统的对称性与伴随对称性算子。
• 一个关键方程（2.16）通过变分导数与Gateaux导数的伴随算子，将对称性与伴随对称性联系起来。
• 对于演化方程，若某泛函的变分导数为伴随对称性，则该泛函为守恒量。
• 该方法利用Lax对：对每个特征函数与伴随特征函数，通过如 $ \rho_0 = P_1^T Q_2 $ 的乘积构造守恒密度。
• 通过递归算子 $ \Phi $ 的幂次，该方法可生成无穷多个守恒密度，如 $ \rho_0 \Phi^i K_0 $ 与 $ \rho_0 \Phi^i \tau_0 $。
• 该框架通过已知的Lax对与特征函数解，在三个经典方程——热方程、伯杰斯方程与KdV方程上得到验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在无拉格朗日量的前提下，系统地推导出一般微分方程组的守恒律？
• RQ2 对称性与伴随对称性之间生成守恒律的精确代数关系是什么？
• RQ3 如何利用对称性与伴随对称性对的配对，显式计算演化方程的守恒密度？
• RQ4 对于如KdV方程等经典方程，是否存在超越已知结果的新守恒密度？
• RQ5 能否在伴随对称性空间上定义一个一致的李括号，且其是否保持封闭性？

主要发现

• 本文建立了对称性与伴随对称性配对与守恒律之间的直接对应关系，适用于任意微分方程组，且不依赖拉格朗日结构。
• 对于热方程，该方法恢复了标准守恒密度 $ u $，并通过对称性-伴随对称性配对生成了新的守恒密度。
• 对于伯杰斯方程，该方法产生了已知的守恒密度 $ u $，并进一步通过相同对称性构造获得额外的守恒密度。
• 对于KdV方程，该方法导出了两个新的守恒密度：$ \rho_0 K_0 \sim u \sigma_0 $ 与 $ \rho_0 \tau_0 \sim \frac{3}{2}tu\sigma_0 + \rho_0 $，其来源于Lax对的特征函数与伴随特征函数。
• 该构造通过递归算子 $ \Phi $ 的幂次，导致无穷多个守恒密度，展示了该方法生成守恒律层级的潜力。
• 通过 $ [[\rho_1, \rho_2]] = (\rho_1')^* \rho_2 - (\rho_2')^* \rho_1 $ 的方式在伴随对称性上定义李括号的尝试，未能保持封闭性，如KdV方程的反例所示，其中 $ x $ 并非伴随对称性。