[论文解读] Conservation laws for conformal invariant variational problems

Tristan Rivière|ArXiv.org|Mar 15, 2006

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文通过将方程表示为散度形式，为二维共形不变变分问题（如调和映射和指定平均曲率方程）建立了守恒律。它利用这些守恒律结构和非线性项的 Hardy 空间估计，证明了任意目标流形中指定有界平均曲率方程的解是连续的，从而解决了 E. Heinz 的一个猜想。

ABSTRACT

We succeed in writing 2-dimensional conformally invariant non-linear elliptic PDE (harmonic map equation, prescribed mean curvature equations...etc) in divergence form. This divergence free quantities generalize to target manifolds without symmetries the well known conservation laws for harmonic maps into homogeneous spaces. From this form we can recover, without the use of moving frame, all the classical regularity results known for 2-dimensional conformally invariant non-linear elliptic PDE . It enable us also to establish new results. In particular we solve a conjecture by E.Heinz asserting that the solutions to the precribed bounded mean curvature equation in arbitrary manifolds are continuous.

研究动机与目标

• 将守恒律理论从对称目标（例如球面）扩展到一般的黎曼子流形。
• 在不依赖移动标架法的前提下，建立二维共形不变非线性椭圆系统的正则性结果。
• 解决 E. Heinz 关于任意目标流形中指定有界平均曲率方程解的连续性猜想。
• 为分析共形不变变分问题中的临界正则性和紧致性提供统一框架。

提出的方法

• 推导二维共形不变变分问题的 Euler-Lagrange 方程的散度形式表示。
• 引入一种广义守恒律结构，类似于调和映射到球面时的经典 $ \mathrm{div}(u^i \nabla u^j - u^j \nabla u^i) = 0 $。
• 利用非线性项属于局部 Hardy 空间 $ \mathcal{H}^1_{\text{loc}} $ 的事实，从而支持改进的正则性估计。
• 应用 Calderón-Zygmund 理论和 $ W^{2,1} $ 估计，证明非线性项的逆拉普拉斯算子是连续的。
• 通过缩放和参数空间中的闭性/开性论证，采用连续路径法证明相关 PDE 系统解的存在性。
• 依赖椭圆正则性和 Sobolev 嵌入定理，控制解分量的 $ W^{1,2} $ 和 $ W^{2,2} $ 范数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为缺乏对称性的任意目标流形上的二维共形不变变分问题推导守恒律？
• RQ2 指定平均曲率方程中的非线性项是否属于支持改进正则性估计的函数空间？
• RQ3 在任意目标流形中，指定有界平均曲率方程的解是否连续？
• RQ4 是否可以在不使用移动标架法的前提下，恢复并推广调和映射的经典正则性结果？

主要发现

• 本文构建了二维共形不变变分问题的 Euler-Lagrange 方程的散度形式表示，推广了调和映射到球面时的经典守恒律。
• 证明了方程中非线性项属于局部 Hardy 空间 $ \mathcal{H}^1_{\text{loc}} $，这意味着解的二阶导数属于 $ L^1 $，从而得到估计 $ \int_O |\nabla^2 u| \, dx < \infty $ 对任意开集 $ O \subset B^2 $ 成立。
• 本文证明了在任意目标流形中，指定有界平均曲率方程的解是连续的，从而解决了 E. Heinz 的猜想。
• 提供了二维调和映射方程 $ W^{1,2} $ 解实解析性的新证明，且不依赖于移动标架法。
• 该方法在能量有界解序列中给出了紧致性结果，利用了 $ \mathcal{H}^1 $ 的弱*紧致性以及 Rellich-Kondrachov 嵌入定理。
• 本文证明了当 $ \varepsilon $ 足够小时，任意满足 $ \|\Omega\|_{L^2}^2 < \varepsilon $ 的 $ \Omega \in W^{1,2}(D^2, \mathfrak{so}(m)) $ 都属于一个闭、开且道路连通的集合 $ \mathcal{U}_{\varepsilon,C} $，从而可通过连续性论证求解 PDE。