[论文解读] Conservation laws with nonlocal velocity -- the singular limit problem

Jan Friedrich, Simone Göttlich+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2022

Fluid Dynamics and Turbulent Flows被引用 5

一句话总结

本文建立了非局部守恒律中非局部速度在非局部核趋近于狄拉克函数时收敛于局部守恒律的熵解的结论。对于指数型核及单调初值，证明了全变差的统一有界性与熵可接受性，确保在弱收敛与强收敛意义下均收敛，数值结果验证了激波与稀疏波的极限行为。

ABSTRACT

We consider conservation laws with nonlocal velocity and show for nonlocal weights of exponential type that the unique solutions converge in a weak or strong sense (dependent on the regularity of the velocity) to the entropy solution of the local conservation law when the nonlocal weight approaches a Dirac distribution. To this end, we establish first a uniform total variation estimate on the nonlocal velocity which enables it to prove that the nonlocal solution is entropy admissible in the limit. For the entropy solution, we use a tailored entropy flux pair which allows the usage of only one entropy to obtain uniqueness (given some additional constraints). For general weights, we show that monotonicity of the initial datum is preserved over time which enables it to prove the convergence to the local entropy solution for rather general kernels and monotone initial datum as well. This covers the archetypes of local conservation laws: Shock waves and rarefactions. It also underlines that a ``nonlocal in the velocity'' approximation might be better suited to approximate local conservation laws than a nonlocal in the solution approximation where such monotonicity does only hold for specific velocities.

研究动机与目标

• 分析非局部性作用于速度而非解的非局部守恒律的奇异极限。
• 在核与速度函数满足特定条件时，建立收敛至局部熵解的结果。
• 证明非局部速度形式能保持初值的单调性，而不同于非局部解形式。
• 通过量身定制的熵通量对，为极限中的熵可接受性与唯一性提供严格框架。
• 数值比较非局部速度与非局部解形式在核趋于局域化时的收敛行为。

提出的方法

• 采用形式为 $\partial_t q + \partial_x \big( (\gamma * V(q)) q \big) = 0$ 的非局部守恒律，其中速度 $V(q)$ 通过核 $\gamma$ 的卷积实现非局部平均。
• 对指数核，建立非局部速度 $\gamma * V(q)$ 的统一全变差（TV）有界性，从而支持紧致性与收敛性论证。
• 应用量身定制的熵通量对，证明极限解的熵可接受性，确保在局部守恒律语境下的唯一性。
• 采用特征线法与单调性保持性，证明在初值单调时，对一般核亦可实现收敛。
• 采用基于特征线的数值格式模拟解，验证收敛至局部熵解，且无数值耗散效应。
• 数值比较非局部速度与非局部解形式，突出前者在单调性保持方面的优势。

实验结果

研究问题

• RQ1 当非局部核趋近于狄拉克函数时，非局部速度形式的非局部守恒律解是否收敛于对应局部守恒律的熵解？
• RQ2 能否对指数型核建立非局部速度 $\gamma * V(q)$ 的统一全变差有界性，以支持收敛性分析？
• RQ3 非局部速度形式是否优于非局部解形式，特别是在保持单调性方面？
• RQ4 该收敛结果能否推广至指数核之外，特别是对一般单调初值与任意核？
• RQ5 使用依赖于速度的熵通量对有何影响？该结果能否推广至 $V'$ 为零的情形？

主要发现

• 对于指数型非局部核，在 $V$ 与 $q_0$ 满足适当的正则性与单调性条件时，非局部解强收敛于局部熵解。
• 对指数核，建立了非局部速度 $\gamma * V(q)$ 的统一全变差有界性，这对弱形式中取极限至关重要。
• 由于使用了量身定制的熵通量对，极限中满足熵条件，从而确保局部熵解的唯一性。
• 对一般核与单调初值，非局部速度形式能保持解随时间的单调性，从而在无需对 $V$ 额外假设下实现收敛至局部熵解。
• 数值模拟验证了对指数核与常数核，解均收敛至局部熵解，且非局部速度形式保持了单调性，而非局部解形式则未能保持。
• 即使在速度函数非凸时，非局部速度形式在保持解的定性特征（如单调性与激波结构）方面仍优于非局部解形式。