[论文解读] Conservation laws with vanishing nonlinear diffusion and dispersion

Philippe G. LeFloch, Roberto Natalini|ArXiv.org|Nov 2, 2007

Navier-Stokes equation solutions参考文献 21被引用 23

一句话总结

本文建立了具有消失非线性扩散和色散项的一类非线性守恒律解的收敛性，其收敛于相应一阶双曲守恒律的熵解。在扩散与色散参数之间满足相对标度条件的前提下，作者利用补偿紧致性和Young测度技术证明了收敛性，扩展了先前关于消失粘性与消失色散极限的研究结果。

ABSTRACT

We study the limiting behavior of the solutions to a class of conservation laws with vanishing nonlinear diffusion and dispersion terms. We prove the convergence to the entropy solution of the first order problem under a condition on the relative size of the diffusion and the dispersion terms. This work is motivated by the pseudo-viscosity approximation introduced by Von Neumann in the 50's.

研究动机与目标

• 分析具有消失非线性扩散与色散项的守恒律解的极限行为。
• 在扩散与色散均消失时，建立解收敛于一阶双曲守恒律熵解的结果。
• 通过在统一框架中同时考虑两种效应，扩展先前关于消失粘性与消失色散极限的研究结果。
• 在扩散与色散参数之间存在相对标度条件的前提下，提供严格的收敛性结果。
• 通过结合扩散-色散正则化机制，证明冯·诺伊曼提出的伪粘性近似方法的合理性。

提出的方法

• 作者研究带有二阶扩散与三阶色散项的非线性色散方程的初值问题。
• 应用塔拉特尔的补偿紧致性方法处理弱收敛性，并导出解序列的统一估计。
• 利用Young测度描述解序列的弱*极限，并分析振荡的集中现象。
• 一个关键技术步骤是推导出控制解与初始数据之间相对熵的凸性不等式（4.7）。
• 收敛性证明依赖于通过测试函数与能量型估计建立的Young测度的强一致性性质。
• 分析假设了通量函数f与粘性函数β的结构条件，包括退化性与增长界（A1, A2, B1, B3）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在扩散与色散参数的何种相对标度下，解序列会收敛于双曲守恒律的熵解？
• RQ2 消失非线性扩散与色散的联合效应是否能正则化解并导致收敛于唯一的熵解？
• RQ3 当粘性函数β(λ)退化或满足幂律增长时，其结构如何影响收敛行为？
• RQ4 Korteweg-de Vries-Burgers方程在作为联合正则化机制的模型时起到何种作用？
• RQ5 补偿紧致性方法能否被调整以同时处理守恒律中消失扩散与色散的情况？

主要发现

• 在$ \varepsilon, \delta \to 0 $时，解序列$ u^{ ho, ho} $在$ \varepsilon $与$ \delta $之间满足相对标度条件的前提下，收敛于一阶双曲守恒律$ \partial_t u + \partial_x f(u) = 0 $的熵解。
• 当通量函数满足(A1)时，收敛性在$ \delta = o(\varepsilon^{3/2}) $条件下成立；对于次二次通量函数，收敛性在$ \delta = o(\varepsilon^2) $条件下成立，扩展了Schonbek的早期结果。
• 收敛性通过补偿紧致性方法以及与解序列相关的Young测度的强一致性得以建立。
• 该方法通过证明Young测度与初始数据的强一致性，确保极限为唯一熵解，而不仅仅是弱解。
• 分析涵盖了满足$ \beta(\lambda)\lambda \geq C_2 |\lambda|^{3r} $（当$ |\lambda| $较大时）的退化粘性函数$ \beta(\lambda) $，包括幂律形式如$ \beta(\lambda) = |\lambda|^{3r-2}\lambda $。
• 该结果验证了冯·诺伊曼的伪粘性近似在与色散结合时的有效性，即使在退化情况下亦成立。