[论文解读] Conservative discrete time-invariant systems and block operator CMV matrices

Yury Arlinskii̇̆|ArXiv.org|Aug 12, 2008

Matrix Theory and Algorithms参考文献 8被引用 5

一句话总结

本论文仅基于Schur参数，构建了算子值Schur类函数的简单保守实现，表明相应的酉算子具有分块算子CMV矩阵的形式——这是标量CMV矩阵的推广。关键贡献是通过截断的分块算子CMV矩阵，为完全非酉压缩提供了一个新模型，直接将Schur参数与酉扩张及特征函数联系起来。

ABSTRACT

It is well known that an operator-valued function $Θ$ from the Schur class ${\bf S}(\mathfrak M,\mathfrak N)$, where $\mathfrak M$ and $\mathfrak N$ are separable Hilbert spaces, can be realized as the transfer function of a simple conservative discrete time-invariant linear system. The known realizations involve the function $Θ$ itself, the Hardy spaces or the reproducing kernel Hilbert spaces. On the other hand, as in the classical scalar case, the Schur class operator-valued function is uniquely determined by its so called "Schur parameters". In this paper we construct simple conservative realizations using the Schur parameters only. It turns out that the unitary operators corresponding to the systems take the form of five diagonal block operator matrices, which are the analogs of Cantero--Moral--Velázquez (CMV) matrices appeared recently in the theory of scalar orthogonal polynomials on the unit circle. We obtain new models given by truncated block operator CMV matrices for an arbitrary completely non-unitary contraction. It is shown that the minimal unitary dilations of a contraction in a Hilbert space and the minimal Naimark dilations of a semi-spectral operator measure on the unit circle can also be expressed by means of block operator CMV matrices.

研究动机与目标

• 仅使用算子值Schur类函数的Schur参数，直接构造简单保守的离散时不变系统。
• 将标量CMV矩阵结构推广至多变量和算子值情形的分块算子矩阵。
• 利用截断的分块算子CMV矩阵，为完全非酉压缩建立一个模型。
• 以分块算子CMV矩阵的形式表达压缩的最小酉扩张和半谱测度的最小Naimark扩张。
• 通过新的基于CMV的模型，重新证明：对于给定的纯压缩Schur类函数，存在一个完全非酉压缩，其特征函数即为该函数。

提出的方法

• 利用Schur参数{Γₙ*}ₙ≥₀构造一个希尔伯特空间及其上的酉算子，形成分块算子CMV矩阵结构。
• 将截断的分块算子CMV矩阵T₀({Γₙ*}ₙ≥₀)和T̃₀({Γₙ*}ₙ≥₀)定义为压缩的特征函数的模型。
• 利用压缩T的酉扩张，将其实现为具有分块算子CMV矩阵结构的保守系统的传递函数。
• 应用Naimark扩张定理，通过分块算子CMV矩阵表示单位圆上的半谱算子测度。
• 证明：由分块算子CMV矩阵构建的保守系统的传递函数与原始Schur类函数一致。
• 通过酉互换算子和缺陷算子，证明截断的分块算子CMV矩阵T₀({Γₙ*}ₙ≥₀)的特征函数等于原始Schur类函数Θ(λ)。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅基于Schur参数，而不依赖于Hardy空间或再生核空间，构造算子值Schur类函数的保守实现？
• RQ2 此类实现所关联的酉算子的结构是什么？它如何推广标量CMV矩阵？
• RQ3 如何利用截断的分块算子CMV矩阵对完全非酉压缩进行建模？
• RQ4 能否用分块算子CMV矩阵表示压缩的最小酉扩张？
• RQ5 能否通过分块算子CMV矩阵表示单位圆上半谱算子测度的Naimark扩张？

主要发现

• 与Schur类函数Θ ∈ S(M,N)相关的酉算子可被实现为仅由Θ的Schur参数构造的分块算子CMV矩阵。
• 截断的分块算子CMV矩阵T₀({Γₙ*}ₙ≥₀)的特征函数等于原始Schur类函数Θ(λ)，建立了参数与系统行为之间的直接联系。
• 完全非酉压缩T的最小酉扩张酉等价于由T的特征函数的Schur参数构造的分块算子CMV矩阵T₀({Γₙ*}ₙ≥₀)。
• 单位圆上半谱算子测度的最小Naimark扩张可被实现为分块算子CMV矩阵，将该模型扩展至算子测度。
• 对于纯压缩的Schur类函数，通过分块算子CMV矩阵模型，重新证明了存在一个完全非酉压缩，其特征函数即为该函数。
• 由分块算子CMV矩阵结构构建的保守系统的传递函数与原始Schur类函数一致，验证了实现的正确性。