[论文解读] Conservative methods for stochastic differential equations with a conserved quantity

Chuchu Chen, David Cohen+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2014

Stochastic processes and financial applications被引用 11

一句话总结

本文提出了一种用于伊tratonovich型随机微分方程（SDEs）的新型保守数值方法，可精确保持标量守恒量。该方法在噪声满足交换性时达到均方收敛阶1，一般情况下达到弱收敛阶1，收敛性分析进一步考虑了求积公式的影响以及基于分裂的组合格式。

ABSTRACT

This paper proposes a novel conservative method for numerical computation of general stochastic differential equations in the Stratonovich sense with a conserved quantity. We show that the mean-square order of the method is $1$ if noises are commutative and that the weak order is also $1$. Since the proposed method may need the computation of a deterministic integral, we analyse the effect of the use of quadrature formulas on the convergence orders. Furthermore, based on the splitting technique of stochastic vector fields, we construct conservative composition methods with similar orders as the above method. Finally, numerical experiments are presented to support our theoretical results.

研究动机与目标

• 开发适用于一般伊tratonovich型SDEs的数值方法，精确保持标量守恒量。
• 分析所提出的保守格式在噪声交换性条件下的均方收敛阶与弱收敛阶。
• 研究求积公式对收敛阶及离散守恒量保持性的影响。
• 利用随机向量场的分裂技术构造保守组合方法。
• 通过循环Lotka-Volterra系统等基准SDEs的数值实验验证理论收敛阶与守恒性质。

提出的方法

• 该方法基于SDE的斜梯度形式，将漂移和扩散系数表示为守恒量梯度的形式。
• 构造了一种新颖的保守格式，通过在时间步长上积分斜梯度结构，确保在离散层面上精确保持不变量 $ I(x) $。
• 收敛性分析考虑了用于近似格式中出现的确定性积分的求积公式，表明若求积公式的阶数超过2，则收敛阶得以保持。
• 应用分裂技术将随机向量场分解为更简单的分量，从而实现具有相似收敛阶的组合格式的构造。
• 组合格式采用与一对指标相关的初等格式的对称组合，确保在均方和弱意义下均为阶1。
• 通过使用高阶格式计算参考解的随机循环Lotka-Volterra系统进行数值验证，确认了理论收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为一般伊tratonovich型SDEs设计一种数值方法，使其在保持高阶收敛性的同时精确保持标量守恒量？
• RQ2 在噪声交换性条件下，所提出的保守格式的均方收敛阶是多少？
• RQ3 在非交换性噪声情况下，该格式的弱收敛阶是多少？
• RQ4 求积公式的选取如何影响收敛阶与不变量的离散保持性？
• RQ5 能否利用分裂技术构造此类SDEs的更高阶保守组合方法？

主要发现

• 当噪声满足交换性时，所提出的保守格式达到均方收敛阶1。
• 即使在不假设噪声交换性的条件下，该格式的弱收敛阶仍为1。
• 若用于计算确定性积分的求积公式阶数大于2，则格式的均方收敛阶与弱收敛阶均保持为1。
• 数值格式精确保持了离散守恒量，证实了其保持几何结构的特性。
• 基于随机向量场分裂的组合格式在噪声交换性条件下达到均方阶1，在一般情况下达到弱阶1。
• 对随机循环Lotka-Volterra系统的数值实验验证了理论收敛阶，对数-对数图显示均方误差与弱误差的斜率均为1。