[论文解读] Conservative stochastic 2-dimensional Cahn-Hilliard equation

Michael Röckner, Huanyu Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2018

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 42被引用 4

一句话总结

本文通过两种方法建立了由时空白噪声驱动的保守随机二维Cahn-Hilliard方程的适定性：一是通过平移方程构造概率强解，二是通过Dirichlet型方法构造概率弱解。关键贡献在于证明了鞅解的唯一性与指数遍历性，以及生成元的受限马尔可夫唯一性。

ABSTRACT

We consider the stochastic 2-dimensional Cahn-Hilliard equation which is driven by the derivative in space of a space-time white noise. We use two different approaches to study this equation. First we prove that there exists a unique solution $Y$ to the shifted equation (see (1.4) below), then $X:=Y+{Z}$ is the unique solution to stochastic Cahn-Hilliard equaiton, where ${Z}$ is the corresponding O-U process. Moreover, we use Dirichlet form approach in \cite{Albeverio:1991hk} to construct the probabilistically weak solution the the original equation (1.1) below. By clarifying the precise relation between the solutions obtained by the Dirichlet forms aprroach and $X$, we can also get the restricted Markov uniquness of the generator and the uniqueness of martingale solutions to the equation (1.1).

研究动机与目标

• 建立由时空白噪声驱动的保守随机二维Cahn-Hilliard方程解的存在性与唯一性。
• 厘清代数强解（通过平移方程）与代数弱解（通过Dirichlet型方法）之间的关系。
• 证明生成元的受限马尔可夫唯一性，并证明鞅解的唯一性。
• 建立解过程的指数遍历性。

提出的方法

• 作者引入一个平移方程，将原始随机Cahn-Hilliard方程转化为更易处理的形式。
• 通过不动点论证与Sobolev空间中的正则性估计，证明了平移方程解 $ Y $ 的存在性与唯一性。
• 利用Ornstein-Uhlenbeck过程 $ Z $ 构造原始解 $ X = Y + Z $，确保质量守恒。
• 应用Dirichlet型方法构造原始方程的概率弱解，利用拟正则性及右过程理论。
• 通过强解与弱解之间的联系，推导出生成元的受限马尔可夫唯一性。
• 通过分析不变测度并结合Gibbs测度背景下的耦合技术，建立指数遍历性。

实验结果

研究问题

• RQ1 由时空白噪声驱动的保守随机二维Cahn-Hilliard方程是否 admits 唯一的概率强解？
• RQ2 能否通过Dirichlet型方法构造概率弱解？其与强解的关系如何？
• RQ3 方程的生成元在受限意义下是否具有马尔可夫唯一性？这是否意味着鞅解的唯一性？
• RQ4 解过程是否相对于Gibbs测度表现出指数遍历性？

主要发现

• 通过平移方程方法，保守随机二维Cahn-Hilliard方程存在唯一的概率强解。
• 利用Dirichlet型方法构造了概率弱解，其与强解的等价性证实了生成元的受限马尔可夫唯一性。
• 通过强解与弱解构造之间的相互作用，确立了鞅解的唯一性。
• 解过程的指数遍历性已得证，意味着解以指数速率收敛至平衡态。
• Gibbs测度 $ \nu $，形式上表示为 $ \nu(d\phi) = c \exp\left(-\int_{\mathbb{T}^2} \frac{1}{4} :\phi^4: dx\right) \mu(d\phi) $，作为不变测度，支撑了遍历性结果。
• 解几乎必然保持质量，与方程的保守性质一致。