[论文解读] Conserved Charges of Minimal Massive Gravity Coupled to Scalar Field

M. R. Setare, H. Adami|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文将最小质量引力理论扩展至包含标量场的非最小耦合及非零挠率，推导出适用于第一类形式的广义非守恒ADT形式体系，用于计算拟局部守恒荷。通过直接积分与Virasoro代数方法计算BTZ黑洞的能量、角动量与熵，结果完全一致，验证了与第一定律及Cardy公式的自洽性。

ABSTRACT

Recently, the theory of Topologically massive gravity non-minimally coupled to a scalar field has been proposed which comes from Lorentz-Chern-Simons theory \cite{1}. That theory is a torsion free one. We extend that theory by adding an extra term which makes torsion to be non-zero. The extended theory can be regarded as an extension of Minimal massive gravity such that it is non-minimally coupled to a scalar field. We obtain equations of motion of extended theory such that they are expressed in terms of usual torsion free spin-connection. We show that BTZ spacetime is a solution of this theory when scalar field is constant. We define quasi-local conserved charge by the concept of generalized off-shell ADT current which both are conserved for any asymptotically Killing vector field as well as a Killing vector field which is admitted by spacetime everywhere. Also we find general formula for entropy of stationary black hole solution in the context of considered theory. We apply the obtained formulas on BTZ black hole solution, to calculate energy, angular momentum and entropy of this soultion. We obtain the central extension term, the central charges and the eigenvalues of the Virasoro algebra generators for the BTZ black hole solution. We calculate energy and angular momentum of BTZ black hole using the eigenvalues of the Virasoro algebra generators. Also we calculate the entropy of BTZ black hole by using the Cardy formula. We find that obtained results using two different ways are exactly matched as we expected.

研究动机与目标

• 通过在[27]的无挠拉格朗日量中添加新项，将带标量场的拓扑质量引力推广至包含非零挠率的理论。
• 在第一类形式中推导广义非守恒ADT电流与荷形式体系，用于计算守恒量。
• 在扩展理论中计算BTZ黑洞解的能量、角动量与熵。
• 通过Cardy公式验证ADT形式体系与Virasoro代数方法所得结果的一致性。
• 确认所推导的守恒量满足黑洞热力学第一定律。

提出的方法

• 在[27]的无挠拉格朗日量中引入新项，以允许非零挠率，从而得到标量场非最小耦合的最小质量引力理论。
• 以无挠自旋连接表示运动方程，证明当参数满足特定条件时，具有常数标量场的BTZ时空是其解。
• 定义广义非守恒ADT电流，并利用Poincaré引理构造渐近 Killing 向量场的拟局部守恒荷。
• 通过Noether荷方法建立静止解中黑洞熵的一般公式，将Tachikawa的方法推广至非协变理论。
• 将该形式体系应用于BTZ黑洞，计算守恒荷、中心荷与Virasoro生成元本征值。
• 将ADT荷计算结果与Virasoro代数及Cardy公式所得结果进行比较，确认完全一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 引入标量场的非最小耦合与非零挠率后，如何改变最小质量引力的结构？
• RQ2 能否在具有Chern-Simons项与标量场的第一类引力理论中，构建广义非守恒ADT形式体系以计算守恒荷？
• RQ3 通过ADT方法计算的BTZ黑洞能量、角动量与熵，是否与通过Virasoro代数与Cardy公式所得结果一致？
• RQ4 在该扩展理论中，BTZ黑洞的中心荷与Virasoro生成元本征值为何？
• RQ5 所推导的守恒量是否满足黑洞热力学第一定律？

主要发现

• 当参数满足条件(34)–(36)时，具有常数标量场的BTZ时空是该扩展理论的解。
• 广义非守恒ADT电流对渐近Killing与全局Killing向量场均守恒，从而实现荷的稳定定义。
• 静止黑洞的熵由一般公式(75)给出，该公式通过非协变引力中的Noether荷方法推导得出。
• BTZ黑洞的能量与角动量为 E = (1/8G)[(φ₀ - αβ/μ)(r₊² + r₋²)/l² - 2r₊r₋/(μl³)] 与 j = (1/8G)[(φ₀ - αβ/μ)(2r₊r₋)/l - (r₊² + r₋²)/(μl²)]，与第一定律一致。
• 中心荷为 c± = (3l/2G)(φ₀ ± 1/(μl) - αβ/μ)，Virasoro生成元本征值为 l±₀ = (l/16G)(φ₀ ± 1/(μl) - αβ/μ)(r₊ ∓ r₋)²/l²。
• 通过Cardy公式计算的熵 S = (π/2G)[(φ₀ - αβ/μ)r₊ - r₋/μ] 与ADT方法及一般熵公式所得结果完全一致。