[论文解读] Conserved Current Densities, Localization Probabilities, and a New Global Gauge Symmetry of Klein-Gordon Fields

Alí Mostafazadeh, Farhad Zamani|ArXiv.org|Dec 9, 2003

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文为克莱因-戈尔登场引入了一个单参数族的守恒电流密度 $J_a^\mu$，其给出一个显式协变、正定且洛伦兹不变的内积。利用最近发展的希尔伯特空间构造方法，推导出场局域化的概率流密度 $\mathcal{J}_a^\mu$，该量在 $c \to \infty$ 极限下退化为非相对论性概率流，尽管 $\mathcal{J}_a^\mu$ 既不守恒，也不是四维矢量场。总概率的守恒源于 $J_a^\mu$ 的局部守恒，后者与一个新全局规范对称性相关联，其规范群为 $U(1)$ 或 $\mathbb{R}^+$，取决于参数 $a$ 是否为有理数。

ABSTRACT

For free Klein-Gordon fields, we construct a one-parameter family of conserved current densities $J_a^μ$, with $a\in(-1,1)$, and use the latter to yield a manifestly covariant expression for the most general positive-definite and Lorentz-invariant inner product on the space of solutions of the Klein-Gordon equation. Employing a recently developed method of constructing the Hilbert space and observables for Klein-Gordon fields, we then obtain the probability current density ${\cal J}_a^μ$ for the localization of a Klein-Gordon field in space. We show that in the nonrelativistic limit both $J_a^μ$ and ${\cal J}_a^μ$ tend to the probability current density for the localization of a nonrelativistic free particle in space, but that unlike $J_a^μ$ the current density ${\cal J}_a^μ$ is neither covariant nor conserved. Because the total probability may be obtained by integrating either of these two current densities over the whole space, the conservation of the total probability may be viewed as a consequence of the local conservation of $J_a^μ$. The latter is a manifestation of a previously unnoticed global gauge symmetry of the Klein-Gordon fields. The corresponding gauge group is U(1) if the parameter $a$ is rational. It is the multiplicative group of positive real numbers if $a$ is irrational. We also discuss an extension of our results to Klein-Gordon fields minimally coupled to an electromagnetic field.

研究动机与目标

• 通过构造显式协变、正定的内积，解决一阶量化克莱因-戈尔登场的概率诠释长期存在的问题。
• 为场局域化定义一个物理上有意义的概率流密度 $\mathcal{J}_a^\mu$，使其在非相对论极限下退化为非相对论性概率流。
• 识别出隐含于守恒电流 $J_a^\mu$ 之下的新全局规范对称性，其规范群为：若 $a$ 为有理数则为 $U(1)$，若 $a$ 为无理数则为 $\mathbb{R}^+$。
• 阐明标准克莱因-戈尔登流 $J_{\rm KG}^\mu$ 作为电荷密度的物理角色，并将其与概率流 $\mathcal{J}_a^\mu$ 区分。

提出的方法

• 通过克莱因-戈尔登方程解空间上的修正双线性形式，构造一个单参数族的守恒电流密度 $J_a^\mu$，参数 $a \in (-1,1)$。
• 利用 $J_a^\mu$ 推导出解空间上最一般正定且洛伦兹不变的内积的显式协变表达式。
• 应用最近发展的克莱因-戈尔登场希尔伯特空间构造方法，定义场局域化的概率流密度 $\mathcal{J}_a^\mu$。
• 分析非相对论极限 $c \to \infty$，证明 $\mathcal{J}_a^\mu$ 退化为经典非相对论性概率流密度。
• 通过两个正能平面波解的叠加，显式计算 $\mathcal{J}_a^\mu$ 与 $J_a^\mu$，表明 $\mathcal{J}_a^\mu$ 不是四维矢量场，也非守恒。
• 证明 $J_a^\mu$ 是守恒的（$\partial_\mu J_a^\mu = 0$），且当 $\omega_1 \neq \omega_2$ 时 $\partial_\mu \mathcal{J}_a^\mu \neq 0$，从而表明概率流的非守恒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为克莱因-戈尔登场解空间构造一个显式协变、正定且洛伦兹不变的内积？
• RQ2 在一阶量化框架下，场局域化的正确相对论性推广的非相对论性概率流是什么？
• RQ3 为何标准克莱因-戈尔登流 $J_{\rm KG}^\mu$ 不适合作为概率流，它被什么所取代？
• RQ4 守恒流 $J_a^\mu$ 是否暗示一种新的全局规范对称性？其规范群的结构如何？
• RQ5 概率流 $\mathcal{J}_a^\mu$ 是否为四维矢量场？它是否满足局部守恒？

主要发现

• 单参数族电流密度 $J_a^\mu$ 是守恒的（$\partial_\mu J_a^\mu = 0$），并在克莱因-戈尔登方程解空间上给出显式协变、正定且洛伦兹不变的内积。
• 通过希尔伯特空间构造方法推导出场局域化的概率流密度 $\mathcal{J}_a^\mu$，其在 $c \to \infty$ 极限下退化为非相对论性概率流。
• 与 $J_a^\mu$ 不同，$\mathcal{J}_a^\mu$ 不守恒（$\partial_\mu \mathcal{J}_a^\mu \neq 0$）且不是四维矢量场，通过平面波叠加的显式计算得以证实。
• 通过两平面波叠加，证明 $\mathcal{J}_a^\mu$ 的非守恒性：$\partial_\mu \mathcal{J}_a^\mu \propto \left(\sqrt{\omega_1/\omega_2} - \sqrt{\omega_2/\omega_1}\right)$，当 $\omega_1 \neq \omega_2$ 时该量非零。
• 证明守恒流 $J_a^\mu$ 源于一种新全局规范对称性，其规范群为：若 $a$ 为有理数则为 $U(1)$，若 $a$ 为无理数则为 $\mathbb{R}^+$。
• 尽管 $\mathcal{J}_a^\mu$ 本身不守恒，但总概率的守恒源于 $J_a^\mu$ 的局部守恒，从而解决了总概率守恒但概率流不局部守恒的表观悖论。