[论文解读] Conserved currents in $D$-dimensional gravity and brane cosmology

А. Н. Петров|ArXiv.org|Jan 20, 2004

Black Holes and Theoretical Physics被引用 5

一句话总结

本文提出了一种协变的、依赖背景的微分几何形式化方法，用于在包含拉格朗日量中二阶导数项的D维引力理论中构造守恒流与超势。通过利用李导数与广义比安奇恒等式，推导出一个散度为零的流，其超势与拉格朗日量中添加的全微分项无关，从而在微扰Gauss-Bonnet膜宇宙学及任意弯曲背景下的广义相对论中，实现唯一且规范不变的守恒量。

ABSTRACT

In $D$-dimentional gravity on arbitrary curved backgrounds using proven methods conserved currents, divergences of antisymmetrical tensor densities (superpotentials), are constructed. These superpotentials have two remarkable properties: they depend in an essential way on second derivatives in the Lagrangian and are independent on divergences added to it. The conserved currents are thus particulary well adapted to the case of perturbations in Gauss-Bonett cosmological brane theories.

研究动机与目标

• 在拉格朗日量中包含二阶导数项的D维引力理论中构造守恒流与超势。
• 确保超势与拉格朗日量中添加的全微分项无关，以保持物理一致性。
• 将该形式化方法推广至微扰Gauss-Bonnet膜宇宙学及具有任意弯曲背景的广义相对论。
• 通过拉格朗日量中的全微分项，建立边界条件与超势唯一性之间的一一对应关系。
• 在统一框架下统一并推广现有成果，如Katz、Bičák与Lynden-Bell的研究结果。

提出的方法

• 该方法引入一个辅助背景时空，其度量为 $\overline{g}_{\mu\nu}$，以协变化导数并定义关于向量场 $\xi^\alpha$ 的李导数。
• 通过将拉格朗日量标量密度的李导数表示为流与超势的形式，推导出广义恒等式 $\hat{I}^\alpha{}_{;\alpha} \equiv 0$。
• 守恒流 $\hat{I}^\alpha$ 表示为超势 $\hat{\Phi}^{\alpha\beta}$ 的散度，其分量 $\hat{u}^\alpha_\sigma$、$\hat{m}^{\alpha\beta}_\sigma$ 与 $\hat{n}^{\alpha\beta\gamma}_\sigma$ 由拉格朗日量的变分导数导出。
• 该形式化方法利用广义比安奇恒等式推导出一系列约束，包括 $\hat{n}^{(\alpha\beta\gamma)}_\sigma \equiv 0$，以确保超势的一致性。
• 对于微扰理论（如5D Gauss-Bonnet膜宇宙学），通过将拉格朗日量划分为背景部分与微扰部分，并应用上划线运算与散度减法，构造出超势。
• 所得超势（20）在 $D=5$ 时显式导出，并在 $\alpha=0$ 且 $M_*^{-3} = \kappa$ 时退化为 $D=4$ 广义相对论中的已知结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在拉格朗日量中包含二阶导数项的D维引力理论中一致地构造守恒流？
• RQ2 何种条件可确保超势与拉格朗日量中添加的全微分项无关？
• RQ3 该形式化方法如何应用于微扰膜宇宙学，特别是Gauss-Bonnet引力理论？
• RQ4 在此框架下，边界条件与超势唯一性之间存在何种关系？
• RQ5 该方法如何统一或推广Katz、Bičák与Lynden-Bell等人的现有成果？

主要发现

• 由于广义李导数恒等式，守恒流 $\hat{I}^\alpha$ 恒为守恒（$\hat{I}^\alpha{}_{;\alpha} \equiv 0$），确保了规范不变性。
• 超势 $\hat{\Phi}^{\alpha\beta}$ 由拉格朗日量唯一确定，且与添加的全微分项无关，从而保证了物理一致性。
• 在5D Gauss-Bonnet膜宇宙学中，显式构造了超势（20），并在 $\alpha=0$ 且 $M_*^{-3} = \kappa$ 时退化为4D广义相对论中的KBL结果。
• 该形式化方法建立了拉格朗日量中全微分项的选择与所生成超势之间的一一对应关系，将边界条件与物理可观测量联系起来。
• 恒等式序列（9）验证了该形式化方法的一致性，其中 $\hat{n}^{(\alpha\beta\gamma)}_\sigma \equiv 0$ 确保了超势闭合所需的反对称性。
• 所导出的超势（20）在 $D=4$ 极限下与先前工作[8]中的Belinfante正则化结果一致，证实了与既有方法的相容性。