[论文解读] Conserved currents in the Cartan formulation of general relativity

Glenn Barnich, Pujian Mao+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2016

Black Holes and Theoretical Physics被引用 16

一句话总结

该论文利用变分双复形与BRST上同调技术，在Cartan形式的一般相对论中推导出局部、在壳闭合共维数2形式（即表面电荷）的显式表达式。证明了其与度量形式中标准表面电荷形式的等价性，确认了在一阶形式之间的一致性，并为引力中的守恒流提供了一个协变、场重新定义不变的框架。

ABSTRACT

We derive the expressions for the local, on-shell closed co-dimension 2 forms in the Cartan formulation of general relativity and explicitly show their equivalence to those of the metric formulation.

研究动机与目标

• 推导一般相对论的Cartan形式中局部、在壳闭合共维数2形式（表面电荷）的显式表达式。
• 建立其与一般相对论度量形式中推导出的表面电荷形式之间的等价性。
• 证明这些守恒流在场重新定义以及广义辅助场（如Lorentz连接）消除下保持不变。
• 利用变分双复形与ghost数-2上同调中的可约性参数，为表面电荷提供一个协变、几何的框架。
• 通过展示守恒流在不同形式之间的一致变换，弥合一阶形式与度量形式的一般相对论。

提出的方法

• 使用变分双复形形式化，通过ghost数-2 BRST上同调中的可约性参数对局部、在壳闭合共维数2形式进行分类。
• 对Noether电流形式 $ S_f $ 应用收缩同伦 $ \rho_H $，构造守恒流 $ k_f $，确保其在壳上满足 $ d_H k_f = 0 $。
• 利用Cartan结构方程，以 tetrad $ e_a^\mu $、Lorentz连接 $ \Gamma^{ab}_\mu $ 和规范参数 $ \xi^\rho, \omega^{ab} $ 表示电流 $ k^\nu\tau_{\tilde{\xi},\omega} $ 的显式形式。
• 通过将Lorentz连接作为辅助场消除，实现向度量形式的约化，并代入 $ \omega^{ab} \approx -e^{[a}_\rho \mathcal{L}_\xi e^{b]\rho} $，从而得到标准度量形式的表面电荷。
• 利用恒等式 $ \delta e_a^\mu e_a^\nu = \frac{1}{2} h_{\mu\nu} + \delta e_a^{[\mu} e_a^{\nu]} $ 将变分表示为度量扰动 $ h_{\mu\nu} $ 的形式，从而与基于度量的结果进行比较。
• 验证所得电流与度量形式中的已知表达式一致，纠正了先前参考文献中的一个笔误（[20]中的公式(35)）。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在一阶形式中系统地推导出一般相对论Cartan形式下的守恒表面电荷？
• RQ2 Cartan形式中的表面电荷形式是否与一般相对论标准度量形式中的表面电荷形式等价？
• RQ3 ghost数-2的BRST上同调如何对一阶引力中局部、在壳闭合共维数2形式进行分类？
• RQ4 辅助场与广义辅助场（如Lorentz连接）在守恒流的构造与等价性中起什么作用？
• RQ5 表面电荷流能否以一种显式场重新定义不变且在一般相对论不同形式间保持一致的方式表达？

主要发现

• 该论文利用变分双复形与BRST上同调，推导出Cartan形式中守恒流 $ k^{\nu\tau}_{\tilde{\xi},\omega} $ 的显式形式，其为tetrad、Lorentz连接与规范参数 $ \xi^\rho, \omega^{ab} $ 的函数。
• 所推导的流满足在壳条件下 $ d_H k_{\tilde{\xi},\omega} = 0 $，证实当tetrad与Lorentz连接满足爱因斯坦方程时，其为闭合的、守恒的共维数2形式。
• 在将Lorentz连接作为辅助场消除（无 torsion 情况）后，该流退化为标准度量形式的表面电荷，与文献中已知结果一致。
• 表达式 $ k^{\nu\tau}_{\tilde{\xi},\omega} $ 被证明与度量形式的电流等价，仅相差一个平凡项（$ n-3 $-形式的外导数），从而确认了一致性。
• 推导过程纠正了先前参考文献中的一个笔误：[20]中的公式(35)应为 $ \tilde{\xi}^\mu D_\sigma h^{\sigma\nu} $，而非 $ \tilde{\xi}^\mu D_\sigma h^{\sigma\mu} $，本分析结果证实了这一点。
• 该框架在场重新定义以及广义辅助场（如Lorentz连接）消除下保持不变，确保了在不同形式之间的一致性与鲁棒性。