[论文解读] Conserving symmetries in Bose-Einstein condensate dynamics requires many-body theory

Kaspar Sakmann, Jörg Schmiedmayer|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2018

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用 5

一句话总结

本文证明，广义-皮塔耶夫斯基（GP）平均场理论在玻色-爱因斯坦凝聚体（BEC）动力学中，即使在凝聚态布居数和相互作用能可忽略的情况下，由于其平均场近似，仍会违反角动量和线性动量等基本守恒定律。作者通过解析和数值方法表明，唯有完整的多体理论（如多配置时变全息玻色子方法，MCTDHB）才能在时间演化中一致地恢复这些对称性。

ABSTRACT

We explain from first principles why satisfying conservation laws in Bose Einstein condensate dynamics requires many-body theory. For the Gross-Pitaevskii mean-field we show analytically and numerically that conservation laws are violated. We provide examples for angular momentum and linear momentum conservation. Arbitrarily large violations occur despite negligible depletion and interaction energy. For the case of angular momentum we show through extensive many-body simulations how the conservation law can be gradually restored on the many-body level. Implications are discussed.

研究动机与目标

• 从第一性原理出发，阐明为何BEC动力学中的守恒定律要求采用多体理论而非平均场近似。
• 识别广义-皮塔耶夫斯基（GP）平均场方法中守恒定律违反的根本原因，尽管该方法被广泛使用。
• 通过解析和数值方法证明，即使在凝聚态布居数和相互作用能可忽略的情况下，角动量和线性动量守恒仍会遭到破坏。
• 展示多配置时变全息玻色子方法（MCTDHB）如何通过多体关联逐步恢复这些守恒定律。
• 澄清一种误解：⟨P²⟩的时间不变性并不意味着动能守恒，实际上在相互作用系统中动能并不守恒。

提出的方法

• 利用时变变分原理（狄拉克-弗伦克尔形式），作者推导出具有时变轨道的多体波函数的运动方程。
• 应用多配置时变全息玻色子（MCTDHB）近似，通过同时变更多体轨道和系数，实现完整的多体描述。
• 分析角动量（Lz）和动量（P）等守恒可观测量的高阶矩（最高至三阶）的时间导数，揭示GP理论中的显式违反。
• 利用约化密度矩阵推导出GP理论中d⟨Aⁿ⟩/dt的精确表达式，显示其贡献与N²成正比，导致期望值随时间变化。
• 通过MCTDHB进行大量数值模拟，展示随着多体关联的引入，守恒定律如何逐步恢复。
• 使用啁啾高斯波包的 Gedankenexperiment，隔离并计算特定初态中守恒定律的违反。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，广义-皮塔耶夫斯基平均场理论会在BEC动力学中违反角动量和线性动量守恒？
• RQ2 为何由多体哈密顿量对称性导出的守恒定律在平均场近似中会失效，尽管精确理论保持这些守恒？
• RQ3 多配置时变全息玻色子（MCTDHB）方法在时间演化中能在多大程度上恢复这些对称性？
• RQ4 为何在相互作用多体系统中，⟨P²⟩的时间不变性会误导人们对动能守恒的判断？
• RQ5 两体和三体约化密度矩阵的贡献如何结合，导致守恒算符高阶矩出现N²量级的违反？

主要发现

• 即使在凝聚态布居数和相互作用能可忽略的情况下，广义-皮塔耶夫斯基平均场理论仍会违反角动量守恒，如GP理论中时间依赖的⟨Lz³⟩所示。
• 对于啁啾高斯初态，d⟨Lz³⟩/dt = N²λ(3k²x₀y₀)/(2πσ₀²)，明确显示时间依赖性，证明第三阶矩存在守恒破坏。
• 类似地，GP理论中⟨P³⟩的时间导数非零：d⟨P³⟩/dt = N²λ(12p₀²x₀)/√(2πσ₀²)，表明动量守恒遭到破坏。
• 违反源于两体和三体约化密度矩阵的贡献，其量级为N²，而这些在平均场近似中缺失。
• MCTDHB模拟表明，随着多体关联的引入，守恒定律逐步恢复，证实唯有完整多体理论才能保持对称性。
• 在相互作用系统中，动能并不守恒，尽管总动量守恒，因为P² ≠ 2T，且由于动量算符与相互作用项不对易，[T, H] ≠ 0。