[论文解读] Consimilarity of Split Quaternion Matrices and a Solution of the Split Quaternion Matrix Equation X-AX_B=C

Hidayet Hüda Kösal, Mahmut Akyiğit+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2014

Matrix Theory and Algorithms参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文引入了分裂四元数矩阵的共相似性，定义了共特征值与共特征向量，并通过实表示法求解矩阵方程 $X - A\widetilde{X}B = C$。主要贡献是利用实表示法 $\phi_A$ 推导出显式闭式解，使得通过标准实矩阵技术系统求解分裂四元数矩阵方程成为可能。

ABSTRACT

In this paper, the consimilarity of complex matrices is generalized for the split quaternions. In this regard, coneigenvalue and coneigenvector are defined for split quaternion matrices. Also, the existence of solution to the split quaternion matrix equation X-AXB = C is characterized and the solution of the equation in the explicit form are derived via its real representation.

研究动机与目标

• 将共相似性的概念从复矩阵推广到分裂四元数矩阵。
• 为分裂四元数矩阵定义并表征共特征值与共特征向量。
• 建立分裂四元数矩阵方程 $X - A\widetilde{X}B = C$ 解存在的充要条件。
• 利用实表示法推导出该矩阵方程的显式闭式解。

提出的方法

• 通过关系 $a \overset{c}{\sim} b$ 若 $a = \overline{p} b p^{-1}$（$p$ 非零）来引入分裂四元数的共相似性。
• 通过方程 $A\widetilde{x} = x\lambda$ 定义分裂四元数矩阵的共特征值与共特征向量，将其与实表示 $\phi_A$ 的特征值联系起来。
• 使用实表示 $\phi_A$ 将分裂四元数矩阵方程 $X - A\widetilde{X}B = C$ 转化为实矩阵方程 $Y - \phi_A Y \phi_B = \phi_C$。
• 利用变换 $X = \frac{1}{16}(I_m\; iI_m\; jI_m\; kI_m) \cdot (Y - Q_m^{-1}Y Q_n + R_m^{-1}Y R_n - S_m^{-1}Y S_n) \cdot \begin{pmatrix} I_n \\ iI_n \\ jI_n \\ -kI_n \end{pmatrix}$，从 $Y$（实矩阵方程的解）中推导出 $X$ 的显式解公式。
• 通过证明 $\phi_X = Y'$（实矩阵方程的解）来验证所推导的 $X$ 满足原始分裂四元数方程。
• 通过实表示映射建立分裂四元数方程解与实矩阵方程解之间的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 分裂四元数矩阵中，共相似性的适当推广是什么？它与共轭和范数保持的关系如何？
• RQ2 如何为分裂四元数矩阵定义共特征值与共特征向量？它们与实表示 $\phi_A$ 的特征值有何关系？
• RQ3 分裂四元数矩阵方程 $X - A\widetilde{X}B = C$ 在何种条件下有解？
• RQ4 能否从方程的实表示中推导出 $X$ 的闭式解？

主要发现

• 分裂四元数矩阵 $A$ 的实表示 $\phi_A$ 是一个 $4m \times 4m$ 的实矩阵，保持代数结构，使得分裂四元数方程可转化为实矩阵方程。
• 分裂四元数矩阵方程 $X - A\widetilde{X}B = C$ 有解当且仅当对应的实矩阵方程 $Y - \phi_A Y \phi_B = \phi_C$ 有解。
• 分裂四元数方程的解 $X$ 显式给出为 $X = \frac{1}{16}(I_m\; iI_m\; jI_m\; kI_m) \cdot (Y - Q_m^{-1}Y Q_n + R_m^{-1}Y R_n - S_m^{-1}Y S_n) \cdot \begin{pmatrix} I_n \\ iI_n \\ jI_n \\ -kI_n \end{pmatrix}$，其中 $Y$ 是实矩阵方程的解。
• 解 $X$ 的实表示 $\phi_X$ 为 $Y' = \frac{1}{4}(Y - Q_m^{-1}Y Q_n + R_m^{-1}Y R_n - S_m^{-1}Y S_n)$，它是实矩阵方程的解。
• 矩阵 $A$ 的共特征值恰好是 $\phi_A$ 的复特征值，即 $\widetilde{\sigma}_r(A) \cap \mathbb{C} = \sigma(\phi_A)$。
• 解公式确保 $\phi_X = Y'$，从而确认所推导的 $X$ 满足原始分裂四元数方程。