[论文解读] Consistency of full-sample bootstrap for estimating high-quantile, tail probability, and tail index

С.Г. Литвинова, Mervyn J. Silvapulle|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2020

Statistical Methods and Inference被引用 4

一句话总结

本文证明了在单变量重尾分布中，全样本非参数自展法在估计高分位数、尾部概率和极值指数时具有渐近有效性。研究显示，与渐近方法相比，自展法在轻尾和重尾情况下均提供了更可靠的覆盖率，解决了长期以来对其在极值推断中一致性的质疑。

ABSTRACT

We show that the full-sample bootstrap is asymptotically valid for constructing confidence intervals for high-quantiles, tail probabilities, and other tail parameters of a univariate distribution. This resolves the doubts that have been raised about the validity of such bootstrap methods. In our extensive simulation study, the overall performance of the bootstrap method was better than that of the standard asymptotic method, indicating that the bootstrap method is at least as good, if not better than, the asymptotic method for inference. This paper also lays the foundation for developing bootstrap methods for inference about tail events in multivariate statistics; this is particularly important because some of the non-bootstrap methods are complex.

研究动机与目标

• 解决长期以来对全样本自展法在单变量分布尾部参数推断中有效性的质疑。
• 建立全样本自展法在高分位数、尾部概率和极值指数估计中的渐近一致性。
• 通过大量模拟评估自展法与渐近方法在有限样本下的表现。
• 为将自展方法推广至多变量和时间序列尾部分布推断奠定基础。
• 基于尾部分布经验过程与自展理论，提供严格的理论依据。

提出的方法

• 该方法采用全样本非参数自展法，从原始独立同分布样本中进行有放回抽样，以估计尾部分布统计量的抽样分布。
• 通过尾部分布经验过程理论，证明了自展分布收敛于尾部估计量的真实抽样分布，从而确立其理论有效性。
• 采用百分位数法、基本法和t法构建自展置信区间，并在Hill估计量框架下对多个k值进行性能评估。
• 理论结果基于Csörgő和Mason（1989）关于尾部分布经验过程自展的技巧推导得出。
• 通过模拟比较在不同尾部厚度、样本大小和尾部概率下，自展法与渐近法的置信区间表现。
• 该方法应用于通过Hill估计量进行极值指数估计，利用自展重采样近似估计量的抽样分布。

实验结果

研究问题

• RQ1 在重尾分布中，全样本自展法在构建高分位数和尾部概率置信区间时是否具有渐近有效性？
• RQ2 在覆盖率概率和区间长度方面，自展法与标准渐近方法相比表现如何？
• RQ3 自展法在不同尾部分布类型（轻尾、重尾、有界）和不同样本大小下是否能保持可靠的覆盖率？
• RQ4 通过Hill估计量，自展法能否在极值指数估计中保持一致应用？
• RQ5 当真实分位数超过观测最大值时，自展置信区间在有限样本下对尾部参数的行为如何？

主要发现

• 在单变量分布中，全样本自展法在估计高分位数、尾部概率和极值指数方面具有渐近有效性。
• 在模拟中，自展法在所有测试分布下均实现了更接近名义水平的覆盖率，优于渐近方法。
• 除部分Frechet(1)和Frechet(2)分布在较不极端的尾部概率下外，自展法在所有分布中均优于渐近方法的覆盖率。
• 对于尾部更轻的分布（如正态分布、指数分布），自展法在覆盖率可靠性方面表现出明显优势。
• 两种方法的置信区间长度相近，表明自展法性能提升并非源于区间更窄。
• 结果支持在实践中将自展法作为比渐近方法更可靠的尾部参数推断工具。