[论文解读] Consistency of least squares estimation to the parameter for stochastic differential equations under distribution uncertainty

Chen Fei, Weiyin Fei|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用 8

一句话总结

该论文在分布不确定性下，通过子线性期望理论和基于容量的新型指数鞅不等式，建立了由 G-布朗运动驱动的随机微分方程（SDE）中漂移参数的最小二乘估计量（LSE）的强的一致性。即使噪声分布模糊，随着离散采样点的增加，LSE仍几乎必然收敛于真实参数值。

ABSTRACT

Under distribution uncertainty, on the basis of discrete data we investigate the consistency of the least squares estimator (LSE) of the parameter for the stochastic differential equation (SDE) where the noise are characterized by $G$-Brownian motion. In order to obtain our main result of consistency of parameter estimation, we provide some lemmas by the theory of stochastic calculus of sublinear expectation. The result shows that under some regularity conditions, the least squares estimator is strong consistent uniformly on the prior set. An illustrative example is discussed.

研究动机与目标

• 解决在分布不确定性下 SDE 的统计推断方法缺失问题，特别是当噪声由 G-布朗运动表征时。
• 将经典最小二乘估计推广至 Knightian 不确定性下的鲁棒参数估计。
• 在离散时间数据下，为非线性期望框架中的参数估计建立理论基础。
• 在子线性期望下，为 LSE 提供严格的相合性证明，确保在分布模糊情况下的收敛性。
• 通过具有模糊波动率的 Ornstein-Uhlenbeck 过程，对理论结果进行数值验证。

提出的方法

• 在分布不确定性下，为由 G-布朗运动驱动的线性 SDE 提出参数估计问题。
• 应用子线性期望和 G-布朗运动理论，对噪声分布的模糊性进行建模。
• 在子线性期望下推导新的指数鞅不等式，以处理基于容量的概率测度。
• 在 G-期望框架下，建立关于矩界和收敛性质的关键引理。
• 基于过程的离散时间观测，提出最小二乘估计量（LSE）。
• 通过多种先验的数值模拟，计算上下期望估计量，验证其收敛行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 当噪声分布模糊时，最小二乘估计量能否在由 G-布朗运动驱动的 SDE 中一致应用？
• RQ2 在何种正则性条件下，LSE 在分布不确定性下几乎必然收敛于真实参数值？
• RQ3 随着采样点数和模拟次数的增加，上下期望估计量的行为如何？
• RQ4 子线性期望理论在实现模糊性下的鲁棒参数估计中起什么作用？
• RQ5 数值模拟能否证实 G-SDE 框架下 LSE 理论上的强一致性？

主要发现

• 在模型和采样满足正则性条件时，G-SDE 中漂移参数的最小二乘估计量（LSE）在几乎必然意义下是强一致的。
• 随着采样点数 $ n \to \infty $ 和模拟次数 $ J \to \infty $，LSE 的上下期望估计量收敛于真实参数值。
• 数值结果表明，当 $ n $ 从 $ 10^4 $ 增加到 $ 5 \times 10^4 $ 时，上下估计量之差 $ \bar{\hat{\theta}}_{n,T} - \underline{\hat{\theta}}_{n,T} $ 从 0.0209 降至 0.0079，表明估计精度提高。
• 当固定 $ n = 5 \times 10^4 $ 时，随着 $ J $ 从 $ 2^3 $ 增加到 $ 2^7 $，上下估计量之差从 0.1390 降至 0.0677，证实了模拟次数增加时的收敛性。
• 随着 $ n $ 增加，LSE 估计量 $ \bar{\hat{\theta}}_{n,T} $ 和 $ \underline{\hat{\theta}}_{n,T} $ 均趋近于真实值 $ \theta^0 = 1 $，其中 $ \bar{\hat{\theta}}_{n,T} $ 从 1.0313 降至 1.0057，$ \underline{\hat{\theta}}_{n,T} $ 从 1.0104 降至 0.9978。
• 基于子线性期望和基于容量的不等式的理论框架，成功支持了在分布不确定性下的鲁棒参数估计。