[论文解读] Consistency of the Adiabatic Theorem

M. S. Sarandy, Lian-Ao Wu+1 more|ArXiv.org|May 12, 2004

Quantum chaos and dynamical systems被引用 5

一句话总结

本文通过证明所谓的不一致源于错误地假设绝热波函数始终保持在初始本征态，而非随瞬时本征态演化并获得贝里相位，从而解决了量子绝热定理中声称的不一致问题。作者在正确应用时重申了该定理的一致性，使用了涉及哈密顿量时间导数矩阵元与能隙的标准绝热条件。

ABSTRACT

We review the quantum adiabatic approximation for closed systems, and its recently introduced generalization to open systems (M.S. Sarandy and D.A. Lidar, e-print quant-ph/0404147). We also critically examine a recent argument claiming that there is an inconsistency in the adiabatic theorem for closed quantum systems [K.P. Marzlin and B.C. Sanders, Phys. Rev. Lett. 93, 160408 (2004)] and point out how an incorrect manipulation of the adiabatic theorem may lead one to obtain such an inconsistent result.

研究动机与目标

• 解决近期关于闭合量子系统绝热定理不一致性的争议，特别是Marzlin和Sanders（2004）提出的论点。
• 通过识别导致不一致的错误假设，澄清绝热定理的正确应用方式。
• 当波函数被正确定义为随瞬时本征态演化并获得几何相位时，重申绝热定理的一致性。
• 通过将主方程生成器的若尔当代数形式推广，将分析扩展到开放量子系统。
• 提供绝热条件的严格推导，并通过投影到瞬时本征态来证明其有效性。

提出的方法

• 通过使用幺正变换将时间依赖薛定谔方程变换到瞬时本征基，从时间依赖薛定谔方程推导出绝热条件。
• 应用绝热条件：$\max_t \left| \frac{\langle k|\dot{H}|n\rangle}{g_{nk}} \right| \ll \min_t |g_{nk}| $，其中 $g_{nk}$ 为能隙。
• 表明绝热波函数必须为 $|\psi(t)\rangle = e^{-i\int^{t} E_0} e^{i\beta_0} |E_0(t)\rangle$，其中包含贝里相位 $\beta_0 = i\int \langle E_0|\dot{E}_0\rangle dt$。
• 证明错误解 $|\psi(t)\rangle = e^{-i\int^{t} E_0} |E_0(t_0)\rangle$ 违反了其为 $H(t)$ 的瞬时本征态的要求。
• 通过将绝热条件投影到瞬时本征基，证明一致性，表明对 $n \neq 0$ 有 $\left| \frac{\langle E_n|\dot{E}_0\rangle}{E_0 - E_n} \right| \ll 1$。
• 通过使用林德布拉德生成器的若尔当代数形式，将绝热近似推广到开放系统，用独立演化的林德布拉德-若尔当块替代本征态。

实验结果

研究问题

• RQ1 Marzlin和Sanders所提出的绝热定理中声称的不一致是由什么引起的？
• RQ2 为何解 $|\psi(t)\rangle = e^{-i\int^{t} E_0} |E_0(t_0)\rangle$ 与绝热条件不一致？
• RQ3 当哈密顿量缓慢演化时，如何一致地将绝热定理应用于闭合量子系统？
• RQ4 满足薛定谔方程和本征态条件的正确绝热波函数形式是什么？
• RQ5 在单位演化不再成立的开放量子系统中，如何将绝热近似进行推广？

主要发现

• Marzlin和Sanders所声称的不一致源于错误地假设绝热波函数始终保持在初始本征态 $|E_0(t_0)\rangle$，而非随瞬时本征态 $|E_0(t)\rangle$ 演化。
• 正确的绝热波函数为 $|\psi(t)\rangle = e^{-i\int^{t} E_0} e^{i\beta_0} |E_0(t)\rangle$，其中 $\beta_0$ 为贝里相位，确保其始终为 $H(t)$ 的瞬时本征态。
• 错误解导致非物理条件 $e^{i\beta_0} \langle E_0(t_0)|E_0(t)\rangle = 1$，除非系统为静态，否则违反绝热条件。
• 在标准框架下，绝热条件 $\left| \frac{\langle E_n|\dot{E}_0\rangle}{E_0 - E_n} \right| \ll 1$ 对 $n \neq 0$ 是绝热演化的必要且充分条件。
• 当正确应用时，绝热定理保持一致，表面上的矛盾是由于忽略了本征态的时间演化而错误应用定理所致。
• 将绝热近似推广到开放系统时，使用主方程生成器的若尔当代数形式，用独立演化的林德布拉德-若尔当块替代本征态。