[论文解读] Consistency Problems for Jump-Diffusion Models

Erhan Bayraktar, Li Chen+1 more|ArXiv.org|Jan 23, 2005

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用 12

一句话总结

本文通过将广义Heath-Jarrow-Morton（HJM）框架扩展至包含标记点过程，为多因子跳跃-扩散利率期限结构模型建立了一致性条件。推导了仿射跳跃-扩散模型的必要与充分条件，并证明在正则性条件下，不存在非平凡的跳跃-扩散模型能与Nelson-Siegel远期利率曲线保持一致。

ABSTRACT

In this paper consistency problems for multi-factor jump-diffusion models, where the jump parts follow multivariate point processes are examined. First the gap between jump-diffusion models and generalized Heath-Jarrow-Morton (HJM) models is bridged. By applying the drift condition for a generalized arbitrage-free HJM model, the consistency condition for jump-diffusion models is derived. Then we consider a case in which the forward rate curve has a separable structure, and obtain a specific version of the general consistency condition. In particular, a necessary and sufficient condition for a jump-diffusion model to be affine is provided. Finally the Nelson-Siegel type of forward curve structures is discussed. It is demonstrated that under regularity condition, there exists no jump-diffusion model consistent with the Nelson-Siegel curves.

研究动机与目标

• 解决多因子跳跃-扩散模型在利率期限结构建模中缺乏一致性条件的问题。
• 通过在等价局部鞅测度下推导漂移条件，弥合跳跃-扩散模型与广义HJM框架之间的鸿沟。
• 确定跳跃-扩散模型在期限结构中为仿射的必要与充分条件。
• 研究跳跃-扩散模型与Nelson-Siegel远期利率曲线族的兼容性。
• 证明在正则性条件下，不存在非平凡的跳跃-扩散模型能与Nelson-Siegel期限结构保持一致。

提出的方法

• 将广义HJM漂移条件（引理1.1）应用于由布朗运动和标记点过程驱动的跳跃-扩散模型。
• 利用伊tô公式推导在具有分段连续路径的跳跃-扩散状态过程中远期利率的动态。
• 引入变换后的随机测度N′及其补偿器L(Xt−, dξ) = λ(Xt)Q(Xt, dξ)，以建模跳跃影响。
• 通过要求在等价鞅测度下远期利率漂移满足HJM条件（1.3），推导出一般一致性条件。
• 通过假设远期利率函数G(τ, x)具有仿射和二次形式，分析可分离的期限结构模型。
• 采用多项式展开与矩匹配技术分析Nelson-Siegel族，得出除非扩散和跳跃分量消失，否则将导致矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 多因子跳跃-扩散模型与广义HJM框架保持一致的必要与充分条件是什么？
• RQ2 在何种条件下跳跃-扩散模型在状态变量中为仿射？
• RQ3 跳跃-扩散模型能否再现Nelson-Siegel形式的远期利率期限结构？
• RQ4 Nelson-Siegel曲线对期限结构模型的漂移、扩散和跳跃分量施加了何种约束？
• RQ5 在正则性条件下，是否存在与Nelson-Siegel族一致的非平凡跳跃-扩散模型？

主要发现

• 推导出跳跃-扩散模型为仿射的必要与充分条件，要求扩散矩阵a(x)为零，且跳跃测度Q在零点退化，或跳跃强度λ(x)消失。
• 为与Nelson-Siegel族保持一致，扩散分量必须恒为零（即a ≡ 0），意味着不存在扩散性随机性。
• 为保持一致，跳跃测度Q必须为零点的狄拉克测度，或跳跃强度λ(x)必须为零，从而消除非平凡跳跃。
• 不存在非平凡跳跃-扩散模型（即具有非零扩散与非退化跳跃）能与Nelson-Siegel远期利率曲线结构保持一致。
• 一致性条件（4.3）简化为关于τ的函数方程，除非Q为零点的狄拉克测度，否则将强制扩散矩阵为零且跳跃测度退化。
• 分析表明，在给定的正则性假设下，Nelson-Siegel族与任何非退化跳跃-扩散动态均不相容。