[论文解读] Consistent Bayesian Community Detection

Sheng Jiang, Surya T. Tokdar|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2021

Complex Network Analysis Techniques参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文提出一种对角优势随机块模型（DD-SBM），通过修改贝叶斯先验以确保在未知社区数时对真实社区数和成员分配的一致估计。通过在连接矩阵中施加对角优势，并利用舒瓦茨方法实现一致的上范数后验收缩，该方法在温和正则性条件下实现理论一致性，同时具备高效的可逆跳变MCMC计算与具有竞争力的有限样本性能。

ABSTRACT

Stochastic Block Models (SBMs) are a fundamental tool for community detection in network analysis. But little theoretical work exists on the statistical performance of Bayesian SBMs, especially when the community count is unknown. This paper studies a special class of SBMs whose community-wise connectivity probability matrix is diagonally dominant, i.e., members of the same community are more likely to connect with one another than with members from other communities. The diagonal dominance constraint is embedded within an otherwise weak prior, and, under mild regularity conditions, the resulting posterior distribution is shown to concentrate on the true community count and membership allocation as the network size grows to infinity. A reversible-jump Markov Chain Monte Carlo posterior computation strategy is developed by adapting the allocation sampler of Mcdaid et al (2013). Finite sample properties are examined via simulation studies in which the proposed method offers competitive estimation accuracy relative to existing methods under a variety of challenging scenarios.

研究动机与目标

• 解决当社区数未知时，贝叶斯随机块模型缺乏理论一致性保证的问题。
• 在非共轭先验下，为社区数量和成员分配建立后验一致性，该先验通过在连接矩阵中强制实现对角优势。
• 在非共轭设定下，开发一种计算上可行的MCMC算法以实现后验推断。
• 展示在有限样本下相对于现有方法的竞争力表现，尤其在具有挑战性的网络配置中。

提出的方法

• 提出一种对角优势SBM，其中社区内连接概率严格大于社区间概率，从而可从节点连接度中识别社区结构。
• 修改Nowicki-Snijders先验以实现对角优势，同时保持弱信息性结构以确保理论可处理性。
• 应用舒瓦茨方法证明上范数后验收缩，这对于从连接概率中识别社区结构至关重要。
• 基于分配抽样框架开发一种可逆跳变MCMC算法，以在不同社区数之间进行抽样。
• 利用上范数中的后验收缩率，确保随着网络规模增大，社区数和成员分配恢复的一致性。
• 通过引入稀疏因子ρₙ，将结果扩展至稀疏网络，并在适当的正则性条件下证明后验收缩。

实验结果

研究问题

• RQ1 当真实社区数未知时，贝叶斯SBM能否一致估计社区数和成员分配？
• RQ2 在连接矩阵中强制实现对角优势是否能从节点连接度中一致恢复社区结构？
• RQ3 在非共轭先验下能否实现上范数中的后验收缩？其是否能保证一致的社区检测？
• RQ4 与现有贝叶斯和频率学派社区检测方法相比，该方法在有限样本下的表现如何？
• RQ5 理论一致性结果能否扩展至边概率递减的稀疏网络设定？

主要发现

• 随着网络规模增大，后验分布在上范数下收缩至真实社区数和成员分配，确保了一致估计。
• 通过舒瓦茨方法建立后验收缩，利用SBM背景下Hellinger距离对上范数的主导性。
• 该方法在有限样本下表现具有竞争力，调整兰德指数值与共轭SBM（c-SBM）相当，尤其在低连接度或高社区数情况下。
• 在稀疏网络中，后验收缩率与稀疏度水平ρₙ无关，尽管其可能低于L₂极小最大率。
• 理论一致性成立的条件为ρₙδ₀ ≳ √(log k₀ / n)，其中δ₀为对角优势间隙，k₀为真实社区数。
• 尽管损失了共轭性，该方法仍可实现高效的可逆跳变MCMC抽样，但其速度仍慢于共轭方法（如MFM抽样器）。