[论文解读] Consistent Inversion of Noisy Non-Abelian X-Ray Transforms

François Monard, Richard Nickl+1 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2019

Geophysical and Geoelectrical Methods参考文献 31被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种贝叶斯统计反演方法，用于从非阿贝尔X射线变换CΦ ∈ SO(n)的噪声离散测量中重构矩阵场Φ : M → so(n)，采用高斯过程先验和无限维MCMC。该方法建立了频率学一致性，表明后验均值以代数速率N⁻ᵝ收敛于真实Φ，在L²(M)-范数下，其中β > 0取决于光滑度和维度，基于对逆映射CΦ → Φ的新定量稳定性估计。

ABSTRACT

For $M$ a simple surface, the non-linear statistical inverse problem of recovering a matrix field $Φ: M o \mathfrak{so}(n)$ from discrete, noisy measurements of the $SO(n)$-valued scattering data $C_Φ$ of a solution of a matrix ODE is considered ($n\geq 2$). Injectivity of the map $Φ\mapsto C_Φ$ was established by [Paternain, Salo, Uhlmann; Geom.Funct.Anal. 2012]. A statistical algorithm for the solution of this inverse problem based on Gaussian process priors is proposed, and it is shown how it can be implemented by infinite-dimensional MCMC methods. It is further shown that as the number $N$ of measurements of point-evaluations of $C_Φ$ increases, the statistical error in the recovery of $Φ$ converges to zero in $L^2(M)$-distance at a rate that is algebraic in $1/N$, and approaches $1/\sqrt N$ for smooth matrix fields $Φ$. The proof relies, among other things, on a new stability estimate for the inverse map $C_Φ o Φ$. Key applications of our results are discussed in the case $n=3$ to polarimetric neutron tomography, see [Desai et al., Nature Sc.Rep. 2018] and [Hilger et al., Nature Comm. 2018]

研究动机与目标

• 开发一种统计一致的方法，用于从非阿贝尔X射线变换CΦ的离散噪声测量中重构矩阵场Φ。
• 解决非阿贝尔X射线变换在反问题中缺乏显式重构公式的缺陷。
• 在测量数N → ∞时，建立贝叶斯后验均值在恢复Φ方面的理论一致性。
• 基于高斯过程先验和无限维MCMC，提供一种可实施的实用算法。
• 推导逆映射CΦ → Φ的新定量稳定性估计，这对于证明收敛速率至关重要。

提出的方法

• 采用贝叶斯框架，对矩阵场Φ : M → so(n)使用高斯过程先验以正则化反问题。
• 采用无限维马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法计算后验分布和后验均值估计。
• 提出一种针对逆映射CΦ → Φ的新型稳定性估计，量化了在L²(∂+SM)中散射数据CΦ的微小误差如何转化为在L²(M)中Φ的误差。
• 应用索伯列夫空间上的插值不等式，连接散射数据与重构场之间的正则性。
• 通过将稳定性估计与样本量N增加时后验测度的集中界相结合，推导收敛速率。
• 在离散化域上对正向算子（建模测地线射线积分）进行数值验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 贝叶斯统计算法能否实现从CΦ的噪声离散测量中一致恢复矩阵场Φ？
• RQ2 随着测量数N增加，后验均值在L²(M)范数下收敛于真实Φ的最优收敛速率是什么？
• RQ3 如何建立逆映射CΦ → Φ的定量稳定性估计以支持收敛性分析？
• RQ4 后验收缩速率能否与真实场Φ的光滑度及数据中的噪声水平相关联？
• RQ5 如何利用MCMC方法实际实现无限维反问题？

主要发现

• 后验均值估计器¯Φ(DN)在概率意义下随N → ∞收敛于真实Φ₀，收敛于L²(M)-范数，建立了频率学一致性。
• 收敛速率为1/N的代数形式，具体为N⁻ᵝ，其中β = α/(2α + 2) × (¯β − 1)/¯β，且满足α > β + 1，¯β ∈ (1, β)为整数。
• 对于光滑Φ₀ ∈ Cα(M)且α > 2，收敛速率趋近于N⁻¹ᐟ²，达到最优参数速率。
• 证明了针对逆映射CΦ → Φ的新定量稳定性估计，表明∥Φ − Φ₀∥L²(M) ≤ C ∥CΦ − CΦ₀∥H¹(∂+SM)，在C¹范数有界条件下成立。
• 后验收缩速率被证明为O(δN)，其中δN = N⁻ᵅ/(2α+2)，并通过矩和尾部界将该速率传递至后验均值。
• 该方法在数值上得到验证，并应用于偏振中子层析成像（PNT），具有实际成像应用的相关性。