[论文解读] Consistent Modeling of VIX and Equity Derivatives Using a 3/2 plus Jumps Model

Jan Baldeaux, Alexander Badran|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2012

Stochastic processes and financial applications被引用 5

一句话总结

本文提出了一种3/2加跳跃模型，通过将3/2随机波动率过程与标的指数中的跳跃相结合，实现了对权益类和VIX衍生品的一致定价。该模型在保持解析可解性的同时，准确捕捉了VIX期权的向上倾斜隐含波动率偏斜以及短期指数期权的波动率微笑，挑战了现有文献中认为跳跃对一致VIX建模是必需的普遍观点。

ABSTRACT

The paper demonstrates that a pure-diffusion 3/2 model is able to capture the observed upward-sloping implied volatility skew in VIX options. This observation contradicts a common perception in the literature that jumps are required for the consistent modelling of equity and VIX derivatives. The pure-diffusion model, however, struggles to reproduce the smile in the implied volatilities of short-term index options. One remedy to this problem is to augment the model by introducing jumps in the index. The resulting 3/2 plus jumps model turns out to be as tractable as its pure-diffusion counterpart when it comes to pricing equity, realized variance and VIX derivatives, but accurately captures the smile in implied volatilities of short-term index options.

研究动机与目标

• 开发一个简洁的模型，联合定价权益类和VIX衍生品，同时保持解析可解性。
• 探究跳跃是否真正对VIX期权的一致建模是必需的，从而挑战文献中的普遍假设。
• 通过引入跳跃，扩展3/2随机波动率模型，以改善对短期指数期权隐含波动率的拟合效果。
• 在所提出的框架下，推导VIX期货和期权的准闭式定价公式。
• 证明3/2加跳跃模型在拟合市场观测到的波动率模式方面，优于纯扩散型3/2模型及其他同类复杂度的模型。

提出的方法

• 仅在标的指数价格中引入跳跃，使用3/2随机波动率过程来建模标的指数动态。
• 利用标准VIX公式，将VIX表示为已实现方差的函数，从而将其与指数的积分方差联系起来。
• 利用倒数3/2过程（倒数平方根过程）的转移密度，表达方差随时间的分布。
• 应用Zhang-Zhu公式，通过对方差分布的期望进行贴现，计算VIX期货和期权的公平价值。
• 利用非中心卡方分布的已知结果，以解析形式表达方差过程的转移密度。
• 通过复合泊松过程扩展框架以包含跳跃，从而在存在跳跃风险时仍能获得闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 纯扩散型3/2模型能否再现VIX期权中观察到的向上倾斜隐含波动率偏斜？
• RQ2 在指数中引入跳跃是否能提升模型对短期指数期权隐含波动率的拟合能力，同时不损失解析可解性？
• RQ3 3/2加跳跃模型是否能够以解析效率实现对权益类和VIX衍生品的一致定价？
• RQ4 3/2加跳跃模型在经验上与具有相似复杂度的其他模型相比，在拟合市场观测到的波动率曲面方面表现如何？
• RQ5 在3/2框架中引入跳跃后，是否能从标的指数动态中一致地推导出VIX，从而确保模型的一致性？

主要发现

• 纯扩散型3/2模型成功再现了VIX期权中观察到的向上倾斜隐含波动率偏斜，与认为跳跃是实现该特征所必需的信念相矛盾。
• 与纯扩散型3/2模型相比，3/2加跳跃模型在拟合短期指数期权隐含波动率方面表现更优，能够捕捉到实际观察到的波动率微笑。
• 通过Zhang-Zhu公式和已知的转移密度，该模型保持了VIX期货和期权的准闭式定价公式。
• 3/2模型中方差过程的转移密度在解析上是可处理的，当其倒数形式存在时，服从非中心卡方分布。
• 在指数中引入跳跃并未损害模型的解析可解性，从而保持了其计算效率。
• 3/2加跳跃模型为联合定价权益类和VIX衍生品提供了一个更简洁且更具经验准确性的替代方案。