[论文解读] Consistent solution of Markov's problem about algebraic sets

Ol’ga Sipacheva|ArXiv.org|May 20, 2006

Advanced Topology and Set Theory参考文献 1被引用 7

一句话总结

本文在连续统假设（CH）下证明了一个群中存在一个非代数的无条件闭集——即在每个豪斯多夫群拓扑下都闭合，但无法表示为方程解集或其有限并与交的集合。该构造利用谢拉赫的不可拓扑化群，借助其作为可数可拓扑化子群的并的结构，证明单位元的补集是无条件闭合的但不是代数的，从而为马尔科夫关于代数集的问题提供了一个一致的反例。

ABSTRACT

It is proved that the continuum hypothesis implies the existence of a group M containing a nonalgebraic unconditionally closed set, i.e., a set which is closed in any Hausdorff group topology on M but is not an intersection of finite unions of solution sets of equations in M.

研究动机与目标

• 为马尔科夫长期悬而未决的问题提供解答：群中每个无条件闭集是否都是代数集。
• 研究不可数群中无条件闭集与代数集之间的关系。
• 在连续统假设（CH）下，证明存在一个群，其包含一个非代数的无条件闭子集。
• 阐明可拓扑化性与子群结构在决定无条件闭集的代数性质中的作用。
• 提供一个与CH相关的（一致的）反例，以反驳马尔科夫定理的逆命题——即所有代数集都是无条件闭集。

提出的方法

• 在CH下利用谢拉赫的不可拓扑化群构造群$M$，该群是按$\omega_1$索引的可数子群$M_\alpha$的并集。
• 利用每个$M_\alpha$（可能除了$M_1$外）是可拓扑化子群的并这一性质，确保其局部可拓扑化。
• 应用引理1：若一个不可拓扑化群的每个有限子集都包含于一个可拓扑化子群中，则$G \setminus \{1\}$是无条件闭集但不是代数集。
• 在自由积与楔积$L \ast_H K$中应用小余因子理论，构造一个具有平凡交的递减正规子群序列的群。
• 使用对称化闭包和$C^\prime(1/10)$-小余因子条件，确保商群上存在非离散的豪斯多夫拓扑。
• 通过反证法证明集合$G \setminus \{1\}$不是代数集：假设它是有限个初等代数集的并，则与包含相关词的子群的可拓扑化性矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 群的每个无条件闭子集是否都源于代数集，即方程解集或其有限并与交的集合？
• RQ2 在适当的结构条件下，不可拓扑化群是否可能包含一个非代数的无条件闭集？
• RQ3 马尔科夫定理的逆命题——即所有无条件闭集都是代数集——在不可数群中是否成立？
• RQ4 群的哪些结构性质可保证其无条件闭子集为代数集？
• RQ5 此类非代数的无条件闭集的存在性是否可在ZFC中一致建立，还是仅能在额外的集合论假设（如CH）下成立？

主要发现

• 在连续统假设下，存在一个群$M$，其包含一个非代数的无条件闭集。
• 该群$M$是谢拉赫的不可拓扑化群，为不可数群，且作为可数子群$M_\alpha$的并集构造而成，其中每个$M_\alpha$本身又是可拓扑化子群的并集。
• 集合$M \setminus \{1\}$是无条件闭集，因为$M$不允许可非离散的豪斯多夫群拓扑。
• 该集合$M \setminus \{1\}$不是代数集，因为假设其为有限个初等代数集的并，将与包含相关词的子群的可拓扑化性产生矛盾。
• 该证明依赖于这样一个事实：任何定义代数集的有限个词的集合，都包含于某个可拓扑化子群中，而在该子群中，集合$H \setminus \{1\}$不可能是代数集。
• 因此，此类集合的存在性在ZFC + CH下是一致的，为不可数情形下的马尔科夫问题提供了否定答案。