[论文解读] Consistent systems of linear differential and difference equations

Reinhard Schäfke, Michael F. Singer|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Polynomial and algebraic computation参考文献 38被引用 22

一句话总结

本文建立了一套统一框架，用于处理包含移位、q-差分或Mahler算子等不同算子的一致线性微分与差分方程组，表明这些方程组可通过规范变换约化为具有常数系数矩阵的系统。关键结果是：满足此类一致系统的解必为有理函数或亚纯函数，从而为经典结果（如Cobham定理）及微分方程伽罗瓦理论中的超超越性判别准则提供了新证明。

ABSTRACT

We consider systems of linear differential and difference equations \begin{eqnarray*} \partial Y(x) =A(x)Y(x), \sigma Y(x) =B(x)Y(x) \end{eqnarray*} with $\partial = \frac{d}{dx}$, $\sigma$ a shift operator $\sigma(x) = x+a$, $q$-dilation operator $\sigma(x) = qx$ or Mahler operator $\sigma(x) = x^p$ and systems of two linear difference equations \begin{eqnarray*} \sigma_1 Y(x) =A(x)Y(x), \sigma_2 Y(x) =B(x)Y(x) \end{eqnarray*} with $(\sigma_1,\sigma_2)$ a sufficiently independent pair of shift operators, pair of $q$-dilation operators or pair of Mahler operators. Here $A(x)$ and $B(x)$ are $n imes n$ matrices with rational function entries. Assuming a consistency hypothesis, we show that such system can be reduced to a system of a very simple form. Using this we characterize functions satisfying two linear scalar differential or difference equations with respect to these operators. We also indicate how these results have consequences both in the theory of automatic sets, leading to a new proof of Cobham's Theorem, and in the Galois theories of linear difference and differential equations, leading to hypertranscendence results.

研究动机与目标

• 统一并推广现有关于同时满足不同算子（如移位、q-差分或Mahler算子）的线性微分与差分方程的函数结果。
• 刻画包含移位、q-差分或Mahler算子的一致系统之亚纯解与有理函数解的性质。
• 建立一个将一致线性方程组约化为简单常数系数形式的框架，使用规范变换。
• 将这些结果应用于证明超超越性定理，并为自动序列理论中的Cobham定理提供新证明。

提出的方法

• 引入一个一致性条件，将微分与差分算子（如 δY = AY 和 σY = BY）联系起来，确保其在复合下相容。
• 使用规范变换 Y = G(x)Z 将系统约化为具有常数系数矩阵 ˜A 和 ˜B 的更简形式。
• 证明除 0 和 ∞ 外的所有奇点均为可去奇点，且局部解可在 C\{0} 的万有覆盖上亚纯解析延拓。
• 证明在 0 和 ∞ 处具有正则奇点的行为允许构造一个具有有理函数项的亚纯规范矩阵 G(x)。
• 应用分块矩阵分解与赋值分析，将非常数系数系统约化为具有正赋值的系统，从而表明其为正则奇点。
• 使用归纳法与分块三角化技术，在一致性约束下逐次消除系数矩阵中的非对角元。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，一个函数若同时满足线性微分方程与线性差分方程（关于移位、q-差分或Mahler算子），必为有理函数或亚纯函数？
• RQ2 如何将一致的线性微分与差分方程组变换为具有常数系数矩阵的系统？
• RQ3 在一致性假设下，系数矩阵的哪些结构性质（如正则奇点、可去奇点）会显现？
• RQ4 一致性条件如何约束解的形式，特别是在增长性与单值性方面？
• RQ5 该框架能否推广至包含多个独立差分算子的系统，例如两个q-差分算子或两个Mahler算子？

主要发现

• 任何具有有理函数系数的一致线性微分与差分方程组的解，在 log x 的黎曼曲面上必为有理函数或亚纯函数。
• 通过规范变换 Y = G(x)Z，系统可被转化为具有常数系数矩阵 ˜A ∈ gl_n(C) 和 ˜B ∈ GL_n(C) 的系统。
• 系统在 C\{0, ∞} 中的所有奇点均为可去奇点，且解可在 C\{0} 的万有覆盖上亚纯解析延拓。
• 用于规范变换的矩阵 G(x) 在 C\{0} 上亚纯，且其元素为有理函数，这是由于其在 0 和 ∞ 处具有适度增长。
• 一致性条件确保变换后的系统在微分与差分算子作用下均保持常数系数结构。
• 所得结果为自动序列理论中的Cobham定理提供了新证明，并建立了线性微分与差分方程解的超超越性判别准则。