[论文解读] Constacyclic codes of length $p^sn$ over $\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$

Yonglin Cao, Yuan Cao+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 11被引用 12

一句话总结

本文对有限环 $\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$ 上长度为 $np^s$ 的 $\lambda$-常循环码提供了完整的代数表征，其中 $\gcd(p,n)=1$。通过规范形式分解，推导出显式的生成元结构、对偶码表示，并对所有此类码进行了计数，包括自对偶循环码、负循环码和常循环码，给出了其数量的闭式公式，并对 $\mathbb{F}_5+u\mathbb{F}_5$ 上长度为 $2\cdot 3^t\cdot 5^s$ 的所有自对偶负循环码进行了完整分类。该方法将先前针对 $p^s$、$2p^s$ 和 $4p^s$ 长度的研究推广至一般情形 $np^s$（满足 $\gcd(p,n)=1$）。主要贡献在于对这一环上所有 $\lambda$-常循环码及其对偶码的统一、显式参数化。

ABSTRACT

Let $\mathbb{F}_{p^m}$ be a finite field of cardinality $p^m$ and $R=\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^2 angle=\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$ $(u^2=0)$, where $p$ is a prime and $m$ is a positive integer. For any $λ\in \mathbb{F}_{p^m}^{ imes}$, an explicit representation for all distinct $λ$-constacyclic codes over $R$ of length $p^sn$ is given by a canonical form decomposition for each code, where $s$ and $n$ are positive integers satisfying ${ m gcd}(p,n)=1$. For any such code, using its canonical form decomposition the representation for the dual code of the code is provided. Moreover, representations for all distinct negacyclic codes and their dual codes of length $p^sn$ over $R$ are obtained, and self-duality for these codes are determined. Finally, all distinct self-dual negacyclic codes over $\mathbb{F}_5+u\mathbb{F}_5$ of length $2\cdot 5^s\cdot 3^t$ are listed for any positive integer $t$.

研究动机与目标

• 为 $\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$ 上长度为 $np^s$ 的所有 $\lambda$-常循环码提供完整且显式的代数结构，其中 $\gcd(p,n)=1$。
• 为每类此类码推导其规范形式分解，以实现生成元的清晰且系统化的表示。
• 通过其规范形式确定每类 $\lambda$-常循环码的对偶码，将对偶性理论扩展至该类码。
• 对环上所有不同的循环码、负循环码和 $\lambda$-常循环码进行计数，并识别出自对偶实例。
• 显式列出 $\mathbb{F}_5+u\mathbb{F}_5$ 上长度为 $2\cdot 3^t\cdot 5^s$ 的所有自对偶负循环码，其中 $t$ 为任意正整数。

提出的方法

• 本文采用环 $R = \mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$，其中 $u^2=0$，将其视为有限链环，以利用该类环上线性码的已知结构理论。
• 利用 $\lambda$-常循环码与商环 $R[x]/\langle x^{np^s} - \lambda \rangle$ 中理想之间的同构关系，将问题转化为理想分类问题。
• 引入规范形式分解，将每类码表示为特定多项式生成的理想之直和，从而实现生成元的显式构造。
• 该方法依赖于在 $R[x]$ 中对 $x^{np^s} - \lambda$ 进行因式分解，利用 $\mathbb{F}_{p^m}$ 的性质及环 $R$ 的结构，特别是 $p$-进展开和乘法阶的性质。
• 通过对 $\lambda$ 的逆元和规范形式进行处理，结合引理 1.2（即 $\gamma$-常循环码的对偶码是 $\gamma^{-1}$-常循环码），构造对偶码。
• 在计数方面，基于 $x^{np^s} - \lambda$ 在 $\mathbb{F}_{p^m}[x]$ 中的不可约因子个数，推导出涉及 $i$ 和 $p^m$ 幂次的求和形式的闭式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\gcd(p,n)=1$ 的条件下，$\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$ 上长度为 $np^s$ 的所有 $\lambda$-常循环码的完整代数结构是什么？
• RQ2 如何利用其规范形式显式表示此类 $\lambda$-常循环码的对偶码？
• RQ3 在 $\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$ 上，长度为 $np^s$ 的不同 $\lambda$-常循环码的总数是多少？能否给出闭式公式？
• RQ4 哪些 $\lambda$-常循环码是自对偶的？在此框架下，自对偶循环码和负循环码如何表征？
• RQ5 能否显式列出 $\mathbb{F}_5+u\mathbb{F}_5$ 上长度为 $2\cdot 3^t\cdot 5^s$ 的所有自对偶负循环码，其中 $t$ 为任意正整数？

主要发现

• 本文为 $\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$ 上长度为 $np^s$ 的每类 $\lambda$-常循环码提供了规范形式分解，实现了其生成元的完整且显式表示。
• 证明了任意 $\lambda$-常循环码的对偶码为 $\lambda^{-1}$-常循环码，并从规范形式中显式推导出其结构。
• 推导出长度为 $np^s$ 的不同 $\lambda$-常循环码数量的闭式公式，表达式为 $N_{(p^m,1,p^s)}^2 N_{(p^m,2,p^s)}$，其中各项取决于 $x^{np^s} - \lambda$ 在 $\mathbb{F}_{p^m}[x]$ 中的因式分解。
• 对于 $\mathbb{F}_5+u\mathbb{F}_5$，显式列出了所有长度为 $2\cdot 3^t\cdot 5^s$ 的自对偶负循环码，其中 $t$ 为任意正整数，确认了其存在性与结构。
• 计算出 $\mathbb{F}_{19}+u\mathbb{F}_{19}$ 上长度为 $4\cdot 19 = 76$ 的 $\lambda$-常循环码的数量约为 $3.79 \times 10^{45}$，验证了公式的实际适用性。
• 该方法将先前关于 $p^s$、$2p^s$ 和 $4p^s$ 长度的研究推广至任意 $n$ 满足 $\gcd(p,n)=1$ 的情形，填补了 $\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$ 上常循环码分类中的空白。