[论文解读] Constacyclic Codes over $F_p+vF_p$

Guanghui Zhang, Bocong Chen|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2013

Coding theory and cryptography参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文表征了在 $\mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$ 上所有满足 $v^2 = v$ 且 $p$ 为奇素数的常循环码，证明其为单生成，并提供了显式的多项式生成元。此外，通过将码分解为 $\mathbb{F}_p$ 上的分量，确定了这些常循环码的对偶码，表明对偶码由生成多项式的逆在标准形式下生成。

ABSTRACT

In this paper, we study constacyclic codes over $F_p+vF_p$, where $p$ is an odd prime and $v^2=v$. The polynomial generators of all constacyclic codes over $F_p+vF_p$ are characterized and their dual codes are also determined.

研究动机与目标

• 将先前关于 $\mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$ 上循环码与常循环码的研究结果推广至任意长度的所有常循环码。
• 表征 $R = \mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$ 上任意单位 $\theta$ 的 $\theta$-常循环码的多项式生成元。
• 确定这些常循环码对偶码的结构，并证明其为单生成。
• 通过将码分解为 $\mathbb{F}_p$ 上的分量，扩展 $\mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$ 上常循环码的对偶性理论。
• 证明当 $\theta = 1-2v$ 或 $-1+2v$ 时，格雷映射保持对偶性，且这些码与 $\mathbb{F}_p$ 上的距离不变循环码相关联。

提出的方法

• 将常循环码表示为商环 $R[x]/\langle x^n - \theta \rangle$ 中的理想，其中 $R = \mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$ 且 $\theta$ 为单位。
• 将任意 $R$ 上的码 $C$ 唯一分解为 $C = vC_{1-v} \oplus (1-v)C_v$，其中 $C_{1-v}, C_v$ 为 $\mathbb{F}_p$ 上的线性码。
• 利用 $R[x]$ 中 $x^n - \theta$ 的首一因子表征 $\theta$-常循环码的生成多项式。
• 通过从分量 $g_{1-v}(x)$ 和 $g_v(x)$ 构造单个生成多项式，证明 $R$ 上所有常循环码均为单生成。
• 使用标准形式生成集 $\{v g_{1-v}(x), (1-v) g_v(x)\}$ 描述码及其对偶。
• 通过证明对偶码 $C^\perp$ 由 $\{v h_{1-v}^*(x), (1-v) h_v^*(x)\}$ 生成，其中 $h_{1-v}^*, h_v^*$ 分别为 $g_{1-v}, g_v$ 的对偶多项式，建立对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于奇素数 $p$ 且满足 $v^2 = v$ 的 $\mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$，所有 $\theta$-常循环码的结构是什么？
• RQ2 所有 $\mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$ 上的常循环码是否均为单生成？若是，其生成多项式为何？
• RQ3 如何用多项式生成元显式描述 $\mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$ 上 $\theta$-常循环码的对偶？
• RQ4 标准格雷映射下，$\theta$-常循环码的格雷像与其对偶之间有何关系？
• RQ5 在何种条件下，格雷映射保持 $\mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$ 上常循环码的对偶性？

主要发现

• 所有 $\theta$-常循环码在 $\mathbb{F}_p + v\mathbb{F}_p$ 上均为单生成，其生成多项式形式为 $g(x) = v g_{1-v}(x) + (1-v) g_v(x)$，其中 $g_{1-v}(x)$ 和 $g_v(x)$ 分别为 $\mathbb{F}_p[x]$ 中 $x^n - \lambda$ 和 $x^n - \mu$ 的首一因子。
• 一个 $\theta$-常循环码 $C$ 的对偶码 $C^\perp$ 也是 $\theta^{-1}$-常循环码，且由 $\{v h_{1-v}^*(x), (1-v) h_v^*(x)\}$ 生成，其中 $h_{1-v}^*, h_v^*$ 分别为 $g_{1-v}, g_v$ 的对偶多项式。
• 对偶码满足 $C^\perp = v C_{1-v}^\perp \oplus (1-v) C_v^\perp$，且其大小为 $|C^\perp| = p^{\deg(g_{1-v}(x)) + \deg(g_v(x))}$。
• 当 $\theta = 1-2v$ 或 $-1+2v$ 时，格雷像 $\phi_\theta(C^\perp)$ 等于 $\mathbb{F}_p[x]$ 中由 $h_{1-v}^*(x) h_v^*(x)$ 生成的理想。
• 格雷映射满足 $\phi_\theta(C^\perp) = (\phi_\theta(C))^\perp$，表明对于这些特殊常循环码，对偶性在格雷映射下被保持。
• 一个例子表明，$\mathbb{F}_3 + v\mathbb{F}_3$ 上长度为 10 的 $(-1+2v)$-常循环码，其生成多项式为 $x^4 + (2v-1)x^3 + (1-v)x^2 - x + 1$，经格雷映射后变为 $\mathbb{F}_3$ 上的 $[20,12,4]$ 循环码，其生成多项式为 $(x^4 + x^3 - x + 1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)$。