[论文解读] Constacyclic symbol-pair codes: lower bounds and optimal constructions

Bocong Chen, Liren Lin+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文為循环型码的最小对距离建立了三个新的下界，包括对重根循环码的一个下界，并利用重根循环码构造了新的最优MDS符号对码，其最小对距离分别为七和八。结果扩展了先前关于符号对码的研究，并在先前限制之外提供了具有改进对距离的MDS码的显式构造。

ABSTRACT

Symbol-pair codes introduced by Cassuto and Blaum (2010) are designed to protect against pair errors in symbol-pair read channels. The higher the minimum pair distance, the more pair errors the code can correct. MDS symbol-pair codes are optimal in the sense that pair distance cannot be improved for given length and code size. The contribution of this paper is twofold. First we present three lower bounds for the minimum pair distance of constacyclic codes, the first two of which generalize the previously known results due to Cassuto and Blaum (2011) and Kai {\it et al.} (2015). The third one exhibits a lower bound for the minimum pair distance of repeated-root cyclic codes. Second we obtain new MDS symbol-pair codes with minimum pair distance seven and eight through repeated-root cyclic codes.

研究动机与目标

• 将Cassuto和Blaum（2011）以及Kai等人（2015）的现有最小对距离下界推广至循环型码，进一步拓展其结果。
• 为重根循环码的最小对距离建立一个新颖的下界。
• 利用重根循环码构造新的MDS符号对码，其最小对距离为七和八。
• 提供能够达到Singleton界且具有改进对距离的最优符号对码的显式构造。

提出的方法

• 使用代数与组合技术，推导出循环型码最小对距离的三个新下界。
• 应用Hartmann-Tzeng界来验证所构造循环码的最小汉明距离。
• 利用重根循环码的生成多项式结构，分析非零系数及其连续位置的分布。
• 利用汉明距离与对距离之间的不等式关系 $ d_H + 1 \leq d_p \leq 2d_H $，推导对距离的界。
• 在 $ \mathbb{F}_p $ 上构造特定的循环码，其生成多项式为 $ (x-1)^3(x-\omega)^2(x-\omega^2) $，以实现期望的参数。
• 严格证明不存在具有连续非零项的低权重码字，从而加强最小对距离的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在现有结果之外，为循环型码的最小对距离建立更紧的下界？
• RQ2 重根循环码的最小对距离是多少？能否独立于其汉明距离进行界定？
• RQ3 能否利用重根循环码构造最小对距离为七或八的MDS符号对码？
• RQ4 在何种条件下，重根循环码能产生MDS符号对码？
• RQ5 当 $ q^2 \equiv 1 \pmod{n} $ 时，$ q $-分圆陪集模 $ n $ 如何影响最优符号对码的构造？

主要发现

• 为重根循环码的最小对距离建立了新下界，表明对于长度为 $ 3p $、参数为 $ [3p, 3p-6, 4] $ 的码 $ \mathcal{D} $，有 $ d_p(\mathcal{D}) \geq 6 $。
• 本文利用重根循环码构造了最小对距离为七和八的MDS符号对码，达到了Singleton界。
• 对于在 $ \mathbb{F}_q $ 上长度为 $ n $ 的循环码 $ \mathcal{C} $，其定义集为 $ C_0 \cup C_1 \cup C_{q+1} $，其最小汉明距离被证明恰好为4，因此为近乎MDS码。
• 证明了码 $ \mathcal{C} $ 为近乎MDS，其参数为 $ [n, n-4, 4] $，且由于 $ n-4 \geq q $，其不能为MDS码，从而确认其近乎MDS的性质。
• 严格证明了不存在汉明权重为5或6且具有连续非零项的码字，支持了更高的对距离下界。
• 该构造得到了最小对距离 $ d_p = 7 $ 和 $ d_p = 8 $ 的MDS符号对码，证明了此类最优码在先前已知类之外也存在。