[论文解读] Constant Approximation Algorithms for Guarding Simple Polygons using Vertex Guards

Pritam Bhattacharya, Subir Ghosh+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 25被引用 13

一句话总结

本文提出了首个针对简单多边形使用顶点守卫的多项式时间常数比近似算法，实现了18（针对顶点和边界守卫）和27（针对完整内部和边界守卫）的近似比，从而解决了Ghosh自1987年以来长期存在的猜想。该方法利用了深度可见性结构，包括伪顶点和可见性分解，以确保使用有界守卫集合实现全覆盖。

ABSTRACT

The art gallery problem enquires about the least number of guards sufficient to ensure that an art gallery, represented by a simple polygon $P$, is fully guarded. Most standard versions of this problem are known to be NP-hard. In 1987, Ghosh provided a deterministic $\mathcal{O}(\log n)$-approximation algorithm for the case of vertex guards and edge guards in simple polygons. In the same paper, Ghosh also conjectured the existence of constant ratio approximation algorithms for these problems. We present here three polynomial-time algorithms with a constant approximation ratio for guarding an $n$-sided simple polygon $P$ using vertex guards. (i) The first algorithm, that has an approximation ratio of 18, guards all vertices of $P$ in $\mathcal{O}(n^4)$ time. (ii) The second algorithm, that has the same approximation ratio of 18, guards the entire boundary of $P$ in $\mathcal{O}(n^5)$ time. (iii) The third algorithm, that has an approximation ratio of 27, guards all interior and boundary points of $P$ in $\mathcal{O}(n^5)$ time. Further, these algorithms can be modified to obtain similar approximation ratios while using edge guards. The significance of our results lies in the fact that these results settle the conjecture by Ghosh regarding the existence of constant-factor approximation algorithms for this problem, which has been open since 1987 despite several attempts by researchers. Our approximation algorithms exploit several deep visibility structures of simple polygons which are interesting in their own right.

研究动机与目标

• 为解决Ghosh于1987年提出的关于简单多边形中顶点守卫问题存在常数比近似算法的猜想。
• 设计多项式时间算法，保证对简单多边形的所有顶点、边界和整个内部区域的守卫问题具有常数近似比。
• 将结果扩展至边守卫，证明可使用类似的基于可见性的技术实现相近的常数近似比。
• 利用简单多边形中固有的可见性结构，设计高效且可证明有界的近似算法。

提出的方法

• 在可见性区域的边界上引入伪顶点，以细化可见性分解并改善覆盖保证。
• 使用改进的可见性分解过程，为所有顶点（包括伪顶点）计算EVP⁺(z)和EVP⁻(z)，确保完全的可见性覆盖。
• 基于可见性支配关系和最小覆盖重叠的主顶点选择策略，将主顶点数量限制在最多2·|G_opt|以内。
• 在放置后引入冗余检查，移除对覆盖新顶点无贡献的守卫，以提升实际性能。
• 利用可见性结构中内部守卫与外部守卫之间的对偶性，以限制为覆盖残留不可见区域所需增加的守卫数量。
• 通过将边段视为潜在的守卫位置，并应用类似的基于可见性的分解与选择逻辑，将算法适配于边守卫。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计出如Ghosh在1987年所猜想的，针对简单多边形中顶点守卫问题的常数比近似算法？
• RQ2 在多项式时间内，使用顶点守卫对简单多边形的所有顶点进行守卫时，可实现的最小近似比是多少？
• RQ3 能否使用边守卫对简单多边形的整个边界和内部实现类似的常数近似比？
• RQ4 如何利用可见性分解和伪顶点构造来限制所需守卫数量，同时确保完全覆盖？
• RQ5 冗余检查和可见性支配标准在多大程度上能提升近似算法的实际性能？

主要发现

• 首个针对使用顶点守卫守卫简单多边形所有顶点的多项式时间算法，以O(n⁴)时间实现18的近似比。
• 第二个算法保证边界全覆盖，近似比为18，运行时间为O(n⁵)。
• 第三个算法确保对内部和边界实现完全覆盖，近似比为27，同样在O(n⁵)时间内完成。
• 这些算法可适配于边守卫，分别对边界覆盖和完整覆盖实现18和27的近似比。
• 通过使用伪顶点和可见性分解，实现了守卫选择的有界性，每个主顶点最多增加6个守卫，从而确保常数近似比。
• 本研究通过提供首个针对简单多边形中顶点守卫和边守卫问题的常数比近似算法，最终解决了Ghosh于1987年的猜想。