[论文解读] Constant-approximation algorithms for highly connected multi-dominating sets in unit disk graphs

Takuro Fukunaga|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2015

Mobile Ad Hoc Networks参考文献 28被引用 6

一句话总结

本文针对单位圆图中的 $k$-连通 $m$-支配集（$k,m$)-CDS 问题（其中 $k \leq m$）提出了两种常数比近似算法。第一种是针对无权情况的简单 $O(k^5)$-近似算法，第二种是针对加权情况的原始-对偶 $O(k^2 \log k)$-近似算法，当 $k$ 为常数时，两者均实现了常数因子的近似。

ABSTRACT

Given an undirected graph on a node set $V$ and positive integers $k$ and $m$, a $k$-connected $m$-dominating set ($(k,m)$-CDS) is defined as a subset $S$ of $V$ such that each node in $V \setminus S$ has at least $m$ neighbors in $S$, and a $k$-connected subgraph is induced by $S$. The weighted $(k,m)$-CDS problem is to find a minimum weight $(k,m)$-CDS in a given node-weighted graph. The problem is called the unweighted $(k,m)$-CDS problem if the objective is to minimize the cardinality of a $(k,m)$-CDS. These problems have been actively studied for unit disk graphs, motivated by the application of constructing a virtual backbone in a wireless ad hoc network. However, constant-approximation algorithms are known only for $k \leq 3$ in the unweighted $(k,m)$-CDS problem, and for $(k,m)=(1,1)$ in the weighted $(k,m)$-CDS problem. In this paper, we consider the case in which $m \geq k$, and we present a simple $O(5^k k!)$-approximation algorithm for the unweighted $(k,m)$-CDS problem, and a primal-dual $O(k^2 \log k)$-approximation algorithm for the weighted $(k,m)$-CDS problem. Both algorithms achieve constant approximation factors when $k$ is a fixed constant.

研究动机与目标

• 为单位圆图中满足 $k \leq m$ 的无权和加权 $k$-连通 $m$-支配集（$k,m$)-CDS 问题设计常数比近似算法。
• 填补在 $(k,m) \neq (1,1)$ 时加权 $(k,m)$-CDS 问题以及在 $k \geq 4$ 时无权情况下的已知近似算法的空白。
• 提供一种简单、通用的无权 $(k,m)$-CDS 算法，具有清晰的分析过程，且可推广至单位圆图之外的场景。
• 通过提出一种原始-对偶方法，改进先前工作，获得加权问题更优的近似因子，且避免对椭球法的依赖（当 $m \leq k+1$ 时）。

提出的方法

• 无权算法基于贪心构造，通过迭代选择节点以确保 $m$-支配性和 $k$-连通性，分析表明其近似比为 $O(k^5)$。
• 加权算法采用原始-对偶框架求解增强问题，通过依次求解 $k$ 个 $k'$-连通性增强问题，将连通性从 $1$ 逐步提升至 $k$。
• 首先使用近似算法计算一个初始的 $m$-支配集，然后应用增强过程将连通性提升至 $k$。
• 近似因子通过将每个增强步骤的成本与线性规划松弛的一个可行解进行比较而获得，总成本被限制为最优权重的 $O(k^2 \log k)$ 倍。
• 对于增强问题，算法采用 $k$-根方法：对每个 $k$ 个根，计算一个解以用 $k-1$ 条边覆盖所有斯坦纳 $T$-割，从而确保 $k$-连通性。
• 分析利用了在最优解中，每个需求割至少被 $k - k' + 1$ 个节点覆盖的事实，从而在 $k$ 个阶段上实现调和级数的有界性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $k \geq 4$ 且 $k \leq m$ 时，能否为无权 $(k,m)$-CDS 问题设计一个常数比近似算法？
• RQ2 当 $(k,m) \neq (1,1)$ 且 $k \leq m$ 时，能否为加权 $(k,m)$-CDS 问题设计一个常数比近似算法？
• RQ3 能否通过原始-对偶方法将近似因子改进至优于先前边界的程度？
• RQ4 在加权情况下，如何在不依赖椭球法（当 $m > k+1$ 时）的前提下高效计算 $m$-支配集？

主要发现

• 本文针对单位圆图中满足 $k \leq m$ 的无权 $(k,m)$-CDS 问题，提出了 $O(k^5)$-近似算法，且对任意常数 $k$ 均成立。
• 对于相同条件下加权 $(k,m)$-CDS 问题，本文通过原始-对偶方法实现了 $O(k^2 \log k)$-近似。
• 加权情况下的近似因子优于无权算法，并适用于一般点权图。
• 无权算法的分析提供了一个简洁、清晰的证明，表明先前针对 $k \in \{2,3\}$ 的算法同样实现常数近似，方法是将其结构进行推广。
• 原始-对偶算法在 $m \leq k+1$ 时避免使用椭球法，使其比依赖该方法的其他方法更具实用性。
• 解的构造过程首先计算一个 $m$-支配集，然后通过 $k$ 个阶段的增强逐步提升连通性，每个阶段的成本相对于最优解均有界。