[论文解读] Constant Factor Approximation for Capacitated k-Center with Outliers

Tomasz Kociumaka, Marek Cygan|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2014

Facility Location and Emergency Management参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文提出了首个针对带容量限制的 $k$-中心问题（含异常值）的常数因子近似算法，对一般硬容量情况实现了25-近似，对均匀容量情况实现了23-近似。该方法结合了线性规划（LP）舍入与一种新颖的基于树的分解技术及距离转移方法，以同时处理设施容量与异常值选择，确保在非均匀约束下仍能获得有界近似比。

ABSTRACT

The $k$-center problem is a classic facility location problem, where given an edge-weighted graph $G = (V,E)$ one is to find a subset of $k$ vertices $S$, such that each vertex in $V$ is "close" to some vertex in $S$. The approximation status of this basic problem is well understood, as a simple 2-approximation algorithm is known to be tight. Consequently different extensions were studied. In the capacitated version of the problem each vertex is assigned a capacity, which is a strict upper bound on the number of clients a facility can serve, when located at this vertex. A constant factor approximation for the capacitated $k$-center was obtained last year by Cygan, Hajiaghayi and Khuller [FOCS'12], which was recently improved to a 9-approximation by An, Bhaskara and Svensson [arXiv'13]. In a different generalization of the problem some clients (denoted as outliers) may be disregarded. Here we are additionally given an integer $p$ and the goal is to serve exactly $p$ clients, which the algorithm is free to choose. In 2001 Charikar et al. [SODA'01] presented a 3-approximation for the $k$-center problem with outliers. In this paper we consider a common generalization of the two extensions previously studied separately, i.e. we work with the capacitated $k$-center with outliers. We present the first constant factor approximation algorithm with approximation ratio of 25 even for the case of non-uniform hard capacities.

研究动机与目标

• 为解决带容量约束与异常值选择的组合问题这一开放性问题，设计一个常数因子近似算法，该问题可视为带容量限制的 $k$-中心问题的自然推广。
• 将先前分别应用于带容量限制 $k$-中心问题与带异常值 $k$-中心问题的近似技术，统一扩展至联合问题的框架中。
• 即使在非均匀硬容量情况下，也能实现有界的近似比，而此前方法或受限或无法适用。
• 提供一个多项式时间算法，精确选择 $p$ 个客户进行服务，开启 $k$ 个设施，满足容量限制，并最小化客户与设施之间的最大距离。

提出的方法

• 将问题建模为带异常值的容量限制 $k$-供应商问题的线性规划（LP），使用表示设施开启与客户分配的变量。
• 引入一种变换，将问题转化为图实例，其中顶点为客户端或设施，并应用基于树的分解以简化结构。
• 在经修改的设施顶点上构建一棵树 $T'$，以支持距离有界的LP值转移，确保舍入过程中容量约束得以保持。
• 采用距离-24转移过程：首先在代理节点 $s'$ 处汇聚质量，然后在树上应用动态规划以获得整数解。
• 利用一个引理：若存在整数距离-$r$转移，则可导出距离-$(r+1)$解，从而将最终近似比降低至25。
• 采用基于骨架的动态规划方法，将问题划分为若干子实例，每个子实例可通过LP可行性检测与局部舍入求解。

实验结果

研究问题

• RQ1 当同时考虑设施容量与异常值选择时，能否为带容量限制的 $k$-中心问题设计出常数因子近似算法？
• RQ2 能否将适用于带容量限制 $k$-中心问题与带异常值 $k$-中心问题的现有LP舍入技术，推广至具有有界近似比的统一通用问题？
• RQ3 在非均匀硬容量变体中，该问题（含异常值）的最佳可实现近似比是多少？
• RQ4 如何利用底层图的结构，以确保解中既满足容量约束，又能保持有界的客户-设施距离？

主要发现

• 本文提出了一种针对一般带容量限制 $k$-供应商问题（含异常值）的25-近似算法，即使在容量非均匀的情况下也适用。
• 在均匀容量情况下，该算法实现了23-近似，优于一般情况下的上界。
• 在软容量设置下且容量均匀时，近似比进一步提升至13。
• 该算法是首个为带异常值的联合问题——即带容量限制的 $k$-中心问题——实现常数因子近似的算法。
• 该方法依赖于一种新颖的基于树的分解技术与一系列距离转移操作，最终通过24-距离转移获得25-近似解。
• 该方法具有鲁棒性与通用性，通过将问题简化为图实例，并在骨架上使用动态规划，确保子问题的可行性。