[论文解读] Constant Factor Lasserre Integrality Gaps for Graph Partitioning Problems

Venkatesan Guruswami, Ali Kemal Sinop+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2012

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 4

一句话总结

本文在平衡分割（Balanced Separator）与均匀最稀疏割（Uniform Sparsest Cut）问题的背景下，建立了拉塞尔（Lasserre）层次结构的常数因子整数规划间隙（integrality gap），表明即使使用 Ω(n) 层的层次结构，也无法实现常数因子近似。作者通过使用展开图（expander graphs）和结构约束，构造了显式的整数规划间隙实例，证明该层次结构无法为这些基础图划分问题认证常数因子近似解。

ABSTRACT

Partitioning the vertices of a graph into two roughly equal parts while minimizing the number of edges crossing the cut is a fundamental problem (called Balanced Separator) that arises in many settings. For this problem, and variants such as the Uniform Sparsest Cut problem where the goal is to minimize the fraction of pairs on opposite sides of the cut that are connected by an edge, there are large gaps between the known approximation algorithms and non-approximability results. While no constant factor approximation algorithms are known, even APX-hardness is not known either. In this work we prove that for balanced separator and uniform sparsest cut, semidefinite programs from the Lasserre hierarchy (which are the most powerful relaxations studied in the literature) have an integrality gap bounded away from $1$, even for $Ω(n)$ levels of the hierarchy. This complements recent algorithmic results in Guruswami and Sinop (2011) which used the Lasserre hierarchy to give an approximation scheme for these problems (with runtime depending on the spectrum of the graph). Along the way, we make an observation that simplifies the task of lifting "polynomial constraints" (such as the global balance constraint in balanced separator) to higher levels of the Lasserre hierarchy.

研究动机与目标

• 弥合已知的近似算法与不可近似性结果之间在平衡分割与均匀最稀疏割问题上的差距。
• 探究拉塞尔层次结构——作为最强大的半定规划层次结构之一——是否能为这些问题实现常数因子近似。
• 构造显式的整数规划间隙实例，这些实例即使在 Ω(n) 层的拉塞尔层次结构下依然难以处理。
• 简化将多项式约束（如全局平衡）提升至拉塞尔层次结构更高层的过程。
• 提供证据表明，尽管近期在算法方面取得进展，拉塞尔层次结构可能仍无法为这些问题提供完全多项式时间近似方案（PTAS）。

提出的方法

• 利用展开图和结构化组件（LΦ, RΦ, Zr, Dl, Dr）构造图实例族，以模拟划分问题中的困难情形。
• 利用子图的展开性质来限制跨割的边数，确保除非违反平衡约束，否则稀疏度保持在阈值以上。
• 采用概率论证表明，任何稀疏度低于阈值 γ 的割，必须近乎平衡，并且必须将 Dl′ 和 Dr′ 分隔到两侧。
• 利用拉塞尔层次结构的结构，将全局平衡与割约束提升至更高阶松弛，从而简化多项式约束的分析。
• 使用一系列不等式来界定任意候选割的稀疏度，表明除非割既平衡又分隔关键组件，否则其稀疏度将超过 γ。
• 利用谱性质与特征值界（λr）将整数规划间隙与图的归一化拉普拉斯矩阵联系起来，从而与先前的算法结果建立关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 拉塞尔层次结构能否为平衡分割与均匀最稀疏割问题实现常数因子近似？
• RQ2 即使在 Ω(n) 层级，拉塞尔层次结构的整数规划间隙是否仍与 1 保持有界距离？
• RQ3 像全局平衡这样的多项式约束能否被高效地提升至拉塞尔层次结构的更高层级？
• RQ4 尽管在较低层级存在强大的算法结果，这些问题是否仍存在超常数的整数规划间隙？
• RQ5 即使较弱的层次结构（如 Sherali-Adams）也失败，拉塞尔层次结构是否仍无法为这些问题提供 PTAS？

主要发现

• 拉塞尔层次结构在平衡分割与均匀最稀疏割问题上存在常数因子整数规划间隙，即使在 Ω(n) 层级也依然存在。
• 整数规划间隙与 1 保持有界距离，意味着该层次结构无法认证常数因子近似解。
• 该间隙实例利用展开图与结构化组件，强制在割既不平衡又未分隔关键部分时，稀疏度保持较高。
• 分析表明，任何稀疏度低于阈值 γ 的割，必须近乎平衡，并且必须将 Dl′ 和 Dr′ 分隔到两侧。
• 该构造表明，即使使用 O(n) 层级，拉塞尔层次结构也无法实现 (1+ε) 近似。
• 本文提出了一种简化方法，可将全局平衡约束高效提升至拉塞尔层次结构的更高层级，从而实现对整数规划间隙更清晰的分析。