[论文解读] Constant mean curvature foliations in cosmological spacetimes

Alan D. Rendall|arXiv (Cornell University)|Jun 17, 1996

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 20被引用 43

一句话总结

本文研究满足强能量条件且具有紧致柯西超曲面的宇宙学时空中的常平均曲率（CMC）叶状结构的存在性。论文提出了关于全局CMC叶状结构的猜想，回顾了在对称性假设下的研究进展，并表明全局CMC叶状结构的存在性取决于对几何量（如 lapse 函数和超曲面体积）获得强一致有界性，这对宇宙学 censorship 和初始奇点问题具有重要意义。

ABSTRACT

Foliations by constant mean curvature hypersurfaces provide a possibility of defining a preferred time coordinate in general relativity. In the following various conjectures are made about the existence of foliations of this kind in spacetimes satisfying the strong energy condition and possessing compact Cauchy hypersurfaces. Recent progress on proving these conjectures under supplementary assumptions is reviewed. The method of proof used is explained and the prospects for generalizing it discussed. The relations of these questions to cosmic censorship and the closed universe recollapse conjecture are pointed out.

研究动机与目标

• 制定并研究具有紧致柯西超曲面的宇宙学时空中全局常平均曲率（CMC）叶状结构存在性的猜想。
• 分析CMC超曲面存在并构成全局叶状结构的条件，特别是在满足强能量条件的时空中。
• 确立全局CMC叶状结构可作为几何上优选的时间坐标，有助于将爱因斯坦方程表述为演化问题。
• 探讨CMC叶状结构与宇宙学censorship之间的联系，尤其从全局存在性和解的渐近行为角度出发。
• 识别现有方法的局限性，以及将CMC叶状结构结果推广至一般非对称时空时所面临的挑战。

提出的方法

• 将全局CMC叶状结构的存在性重新表述为在CMC时间下关于偏微分方程组的全局存在性问题。
• 利用由椭圆方程控制的lapse函数行为，推导出体积和曲率等几何量的有界性。
• 应用估计方法，表明若解在CMC时间有限端点附近保持一致有界，则可进行延拓，从而暗示全局存在性。
• 借助对称性约化（如Bianchi、Gowdy）推广Malec与Ó Murchadha的方法，但这些方法仅适用于至少具有两个局部Killing矢量的时空。
• 利用屏障超曲面证明可能的平均曲率值集合构成一个连通区间，从而排除CMC值谱中的间隙。
• 分析在最大超曲面附近的行为，此时lapse函数可能发散，表明时间坐标失效，这是实现全局叶状结构的主要障碍。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有紧致柯西超曲面的宇宙学时空中，满足何种条件时，可存在由紧致常平均曲率超曲面构成的全局叶状结构？
• RQ2 CMC超曲面上平均曲率值范围为区间的必要与充分条件是什么？其端点由什么决定？
• RQ3 在无时空对称性的情况下，如何证明全局CMC叶状结构的存在性？尤其当lapse函数缺乏下界时，这一问题尤为突出。
• RQ4 CMC叶状结构如何与强宇宙学censorship猜想相关联，特别是在控制解的渐近行为方面？
• RQ5 CMC时间坐标能否用于统一并推广现有关于非均匀时空中曲率奇点和初始奇点结构的研究成果？

主要发现

• 在满足强能量条件且具有紧致柯西超曲面的宇宙学时空中，对于任意非零平均曲率值，至多存在一个紧致CMC超曲面，仅在特殊静态情况下例外。
• 若存在单个紧致CMC超曲面，则其局部生成一个平均曲率单调变化的CMC超曲面叶状结构，构成优选的时间坐标。
• 在给定时空中，CMC超曲面所实现的平均曲率值集合为一个区间，无间隙，这是由于屏障超曲面定理所致。
• 若能在有限CMC时间区间内获得lapse函数和超曲面体积的强一致有界性，则可确立全局CMC叶状结构。
• 在Bianchi型I或Gowdy等对称时空中，全局CMC叶状结构存在，初始奇点为曲率奇点，但其渐近行为在一般情况下仍理解不足。
• 该方法无法推广至仅具有少于两个局部Killing矢量的时空，原因在于无法将Malec-Ó Murchadha技术推广至一般情形。