[论文解读] Constant mean curvature surfaces in $\mathbb{H}^2 imes\mathbb{R}$ with boundary in two parallel planes

Rodrigo B. Soares, Patrícia Kruse Klaser+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文在 $ H^2 \times \mathbb{R} $ 中建立了常平均曲率（CMC）曲面在两个平行平面上具有边界时的存在性与非存在性条件。通过几何屏障——H-诺伊德oids、悬链面和H-球帽——证明了当 $ H \geq 0 $ 时，若平面间距离与边界曲线满足特定的曲率与高度约束，则存在唯一解，且在 $ H > 1/2 $ 时表现出特殊行为。

ABSTRACT

Given $H\in [0,\infty),$ some sufficient conditions for existence of CMC $H$ graphs with boundary in two parallel planes of $\mathbb{H}^2 imes\mathbb{R}$ are presented. Height estimates for outwards-oriented CMC surfaces (horo)cyllindrically bounded are also exhibited.

研究动机与目标

• 在乘积空间 $ \rH^2 \times \mathbb{R} $ 中，建立常平均曲率 $ H $ 图在两个平行平面上具有边界时的存在性充分条件。
• 分析当 $ H > 1/2 $ 时 CMC 曲面的行为，该情形在文献中此前未被处理。
• 为在 $ \rH^2 \times \mathbb{R} $ 中具有水平柱状有界性的 CMC 曲面提供高度估计与非存在性结果。
• 基于 $ \rH^2 $ 中特定函数的旋转图，构造几何屏障——H-诺伊德oids、悬链面与H-球帽。

提出的方法

• 将 H-诺伊德oid 函数 $ {\rm H\text{-}nod}_r(s) $ 构造为 $ \rH^2 $ 中 CMC 方程的旋转对称解，通过涉及双曲函数与 $ H $ 的积分定义。
• 将 H-诺伊德oid 用作屏障，其定义域限制在 $[0, T_H]$，其中当 $ H \leq 1/2 $ 时 $ T_H = \infty $，当 $ H > 1/2 $ 时 $ T_H = \ln\left(\frac{2H+1}{2H-1}\right) $，且该值与颈半径 $ r $ 无关。
• 应用庞佩乌方法与上下解法，利用来自 H-诺伊德oids、悬链面（$ H=0 $ 情形）及 H-球帽的屏障。
• 通过 Dirichlet 问题 $ Q_H(u) = 0 $ 在 $ \rH^2 $ 中施加边界条件，其中 $ u = h $ 在 $ \rhd $ 上，$ u = 0 $ 在 $ \rhd $ 上，此处 $ \rhd $ 是边界曲线投影所围成的环形区域。
• 使用切触原理证明非存在性：若 CMC 曲面位于高度 $ h > h_H $ 的柱形区域内，则其必与一个水平曲面重合，导致矛盾。
• 利用 H-水平柱面叶状结构与 H-诺伊德oid 的反射对称性，推导出当 $ r < r^* $ 时，若存在合适的 H-诺伊德oid 且其半径 $ r < r^* $，则当 $ h > 2\max{\rm H\text{-}nod}_{r^*} $ 时，非存在性成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $ \rH^2 \times \mathbb{R} $ 中，当 $ H \geq 0 $ 时，常平均曲率 $ H $ 图在两个平行平面上具有边界时，其存在性在何种条件下成立？
• RQ2 当 $ H > 1/2 $ 时，CMC 障碍（特别是 H-诺伊德oids）的行为如何变化，这对存在性有何影响？
• RQ3 在 $ \rH^2 \times \mathbb{R} $ 中，对具有水平柱状有界性的 CMC 曲面，可导出何种高度估计？
• RQ4 能否基于平均曲率 $ H $ 与柱形区域高度 $ h $，建立 $ \rH^2 \times \mathbb{R} $ 中 CMC 曲面在柱形区域内的非存在性结果？
• RQ5 边界曲线 $ \rhd $ 与 $ \rhd $ 上的内圆与外圆条件如何影响 CMC 图的 Dirichlet 问题的可解性？

主要发现

• 当 $ H \leq 1/2 $ 时，若边界曲线间距离 $ d $ 满足 $ \cosh(r + d/2) \leq \cosh(r) + \frac{\sinh(r)}{2H} $，且 $ h \leq \max\left\{ \text{cat}_r(d), \frac{2Hd}{\sqrt{\coth^2(r) - 4H^2}} \right\} $，则存在性成立，其中后一项仅在 $ \coth^2(r) > 4H^2 $ 时为有限值。
• 当 $ H > 1/2 $ 时，存在性要求 $ R \leq T_H = \ln\left(\frac{2H+1}{2H-1}\right) $ 且 $ h \leq \frac{4H}{\sqrt{4H^2 - 1}} \arctan\left(\sqrt{\frac{1 - 4H^2 \tanh^2\left(\frac{T_H - d}{2}\right)}{4H^2 - 1}}\right) $，其中 $ T_H $ 与颈半径 $ r $ 无关。
• H-诺伊德oid 的定义域长度 $ T_H $ 与内半径 $ r $ 无关，意味着 H-诺伊德oid 的垂直斜率点之间的距离不随颈尺寸缩放。
• 当 $ r \to 0 $ 时，H-球帽可作为 H-诺伊德oid 的极限获得，其显式初等形式使其可隐式用于存在性条件。
• 通过 $ B \times [0, h_H] $ 上 H-水平曲面的叶状结构与切触原理，证明了当 $ h > h_H $ 时非存在性成立，其中 $ h_H $ 为 H-水平柱面的高度。
• 当 $ H > 1/2 $ 时，若存在合适的 H-诺伊德oid（半径 $ r < r^* $）且其从内部接触曲面 $ M $，则当 $ h > 2\max{\rm H\text{-}nod}_{r^*} $ 时，非存在性成立。