[论文解读] Constant $μ$-scalar curvature Kähler metric -- formulation and foundational results

Eiji Inoue|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文引入了 $\mu$-标量曲率作为常标量曲率凯勒（cscK）度量与凯勒-里奇孤立子的统一框架，通过一个矩图构造同时推广了两者。文章建立了基础结果，包括新的 $\mu$-K-能量泛函和 $\mu$-体积泛函，证明了在 $\mathbb{C}P^1$ 和 $\mathbb{P}_{\Sigma}(L\oplus\mathcal{O})$ 上对 $\lambda \geq 0$ 存在 $\mu^\lambda$-cscK 度量，并构造了一条从凯勒-里奇孤立子到极值度量的连续路径。

ABSTRACT

We introduce mu-scalar curvature for a K"ahler metric with a moment map mu and start up a study on constant mu-scalar curvature K"ahler metric as a generalization of both cscK metric and K"ahler-Ricci soliton and as a continuity path to extremal metric. We study some fundamental constraints to the existence of constant mu-scalar curvature K"ahler metric by investigating a volume functional as a generalization of Tian-Zhu's work, which is closely related to Perelman's W-functional. A new K-energy is studied as an approach to the uniqueness problem of constant mu-scalar curvature and as a prelude to new K-stability concept.

研究动机与目标

• 通过 $\mu$-标量曲率将常标量曲率凯勒（cscK）度量与凯勒-里奇孤立子统一于一个几何框架中。
• 提出一种新的 $\mu$-K-能量泛函，以解决 $\mu$-cscK 度量的唯一性问题。
• 引入 $\mu$-体积泛函，作为存在性约束的工具，并为 $\mu$-稳定性奠定基础。
• 构建一条从 $\mu$-cscK 度量到极值度量的连续路径，连接凯勒-里奇孤立子与 cscK 度量。

提出的方法

• 将 $\mu$-标量曲率 $s_\xi(\omega)$ 定义为 $s(\omega) + \Box\bar\theta + (\Box\bar\theta - \xi^J\theta)$，其中 $\theta$ 是全纯向量场 $\xi^J$ 的 $\bar{\partial}$-哈密顿势。
• 利用唐纳森-福吉基的矩图图像，将 $\mu$-标量曲率解释为复版 Bakry-Emery 曲率的迹。
• 引入田-朱体积泛函的一种变体，与佩雷尔曼的 $\mathcal{W}$-泛函密切相关，以推导 $\mu$-cscK 度量存在性的约束条件。
• 在凯勒势的空间上定义一个新的 $\mu$-K-能量泛函，可延拓至 $C^{1,1}$-正则性，用于研究唯一性。
• 通过分析满足 $\varphi'(-m) = 1$ 和边界条件的 $\varphi_\chi$ 的常微分方程，显式构造 $\mathbb{C}P^1$ 和 $\mathbb{P}_\Sigma(L\oplus\mathcal{O})$ 上的解。
• 在 $\mathbb{C}P^2\#\overline{\mathbb{C}P^2}$ 上，从 $\mu^\lambda$-cscK 度量出发，构造一条连续路径，当 $\lambda \to -\infty$ 时趋于极值度量，当 $\lambda \to 0^+$ 时趋于凯勒-里奇孤立子。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 $\mu$-标量曲率在单一几何框架内统一 cscK 度量与凯勒-里奇孤立子？
• RQ2 存在 $\mu$-cscK 度量的必要约束是什么？它们与体积泛函及曲率不变量有何关系？
• RQ3 如何通过 $\mu$-cscK 度量构建一条从凯勒-里奇孤立子到极值度量的连续路径？
• RQ4 $\mu$-K-能量泛函在 $\mu$-cscK 度量唯一性问题中起什么作用？
• RQ5 能否在环形或射影丛上显式构造 $\mu$-cscK 度量？其在参数变化下的行为如何？

主要发现

• $\mu$-标量曲率 $s_\xi(\omega)$ 定义为 $s(\omega) + \Box\bar\theta + (\Box\bar\theta - \xi^J\theta)$，其中 $\theta$ 为 $\bar{\partial}$-哈密顿势，该定义同时推广了 cscK 与凯勒-里奇孤立子条件。
• 对于 $X = \mathbb{C}P^1$，在凯勒类 $2\pi(F + mB)$ 中，对所有 $\lambda > \lambda_{\text{freeze}}$ 存在 $\mu^\lambda$-cscK 度量，且当 $\lambda > 0$ 时并非 cscK，表明该构造具有非平凡性。
• 在 $\mathbb{P}_\Sigma(L\oplus\mathcal{O})$ 上，对所有 $\lambda \geq 0$ 存在 $\mu^\lambda$-cscK 度量，且当 $\lambda \to -\infty$ 时，该族形成一条从 $\mu^0$-cscK 到极值度量的连续路径，连接了凯勒-里奇孤立子。
• $\mu$-体积泛函在 $\lambda > 0$ 时是适当的，其二阶变分公式为 $\mu$-cscK 度量的存在性提供了约束。
• $\mu$-K-能量泛函在 $C^{1,1}$-势上定义良好，为研究 $\mu$-cscK 度量的唯一性提供了有效工具。
• 在 $X = \mathbb{C}P^2\#\overline{\mathbb{C}P^2}$ 上，对 $\lambda \in (-\infty, 0)$ 存在 $\mu^\lambda$-cscK 度量，当 $\lambda \to -\infty$ 时趋于极值度量，当 $\lambda \to 0^+$ 时趋于 $\mu^0$-cscK 度量，确认了从凯勒-里奇孤立子到极值度量的连续路径。