[论文解读] Constant Scalar Curvature Metrics on Connected Sums

Dominic Joyce|ArXiv.org|Aug 3, 2001

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用 7

一句话总结

本文研究了在维度 $ n o 3 $ 的紧致黎曼流形的连通和上具有常数量曲率的度量。通过分析方法，表明在由两个流形连接而成的度量的共形类中，具有常数量曲率的度量要么形成细小的“颈部”，要么其中一个流形被共形因子压扁；在两个正数量曲率流形的情况下，同一共形类中存在三种不同的常数量曲率度量（曲率为1）。

ABSTRACT

Let (M,g) be a compact Riemannian manifold with dimension n > 2. The Yamabe problem is to find a metric with constant scalar curvature in the conformal class of g, by minimizing the total scalar curvature. The proof was completed in 1984. Suppose (M',g') and (M'',g'') are compact Riemannian n-manifolds with constant scalar curvature. We form the connected sum M' # M'' of M' and M'' by removing small balls from M' and M'' and joining the S^{n-1} boundaries together. In this paper we use analysis to construct metrics with constant scalar curvature on M' # M''. Our description is quite explicit, in contrast to the general Yamabe case when one knows little about what the metric looks like. There are 9 cases, depending on the signs of the scalar curvature on M' and M'' (positive, negative, or zero). We show that the constant scalar curvature metrics either develop small "necks" separating M' and M'', or one of M', M'' is crushed small by the conformal factor. When both have positive scalar curvature, we construct three different metrics with scalar curvature 1 in the same conformal class.

研究动机与目标

• 理解紧致黎曼流形连通和上常数量曲率度量的结构。
• 分析连通和上度量的共形类在Yamabe问题下的行为。
• 确定具有常数量曲率的度量是否发展出类似 $ \mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R} $ 的长管，或表现出其他几何行为。
• 根据原始流形的数量曲率符号（正、零、负）对这类度量的行为进行分类。

提出的方法

• 通过单位分解将 $ g' $ 和 $ g'' $ 连接起来，在连通和 $ M' \# M'' $ 上构造一个一维参数族度量 $ g_t $，其中参数 $ t $ 控制切除球的大小。
• 估计 $ g_t $ 的数量曲率，表明其接近常数，并通过小的共形变换利用扰动理论进行调整。
• 以受控方式应用Yamabe问题的存在性结果，重点关注 $ t \to 0 $ 时的渐近行为，即颈部变细时的情形。
• 使用格林函数和谱理论来建模数量曲率方程解的行为，特别是分析共形拉普拉斯算子的第一特征值。
• 在函数空间中建立Sobolev常数的统一有界性，并利用其控制迭代方法的收敛性。
• 应用序列方法并针对正数量曲率情形进行优化，将特征值估计推迟至附录中。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致流形连通和上的常数量曲率度量是否发展出类似 $ \mathbb{S}^{n-1} \times \mathbb{R} $ 的长管，还是表现出不同的几何行为？
• RQ2 在连通和上度量的共形类中，是否可以存在多个不同的常数量曲率度量？若可以，其条件是什么？
• RQ3 当两个流形均具有正数量曲率时，连通和度量的几何行为如何——是否形成细小颈部，或是否因共形因子而使一个流形被压扁？
• RQ4 当一个或两个流形具有零或负数量曲率时，Yamabe度量的行为有何不同？
• RQ5 当颈部尺寸 $ t \to 0 $ 时，连通和上共形拉普拉斯算子的第一特征值的渐近行为是否可以量化？

主要发现

• 对于两个具有正数量曲率的流形，在同一共形类中存在三种不同的常数量曲率度量，其曲率为1。
• 这些度量不会发展出长管；相反，它们要么形成细小的“颈部”，要么其中一个流形被共形因子压扁。
• 当两个流形均具有正数量曲率时，共形拉普拉斯算子的第一特征值 $ \lambda_t $ 满足 $ \lambda_t = O(t^{n-2}) $ 当 $ t \to 0 $，表明存在强烈的集中现象。
• 谱分析中的常数 $ D_1 $ 的渐近行为为 $ D_2 \cdot \mathrm{vol}(M') \cdot t^{2-n} + O(t^{1-n}) $，表明当 $ t \to 0 $ 时发散，这对迭代方法的收敛性至关重要。
• 对于数量曲率接近零的度量，将其精确化为常数量曲率需要与 $ \pm 1 $ 情形不同的分析方法，其行为取决于两个分量之间的相互作用。
• Sobolev常数在度量族 $ g_t $ 下保持统一有界，这对紧致性与收敛性论证的应用至关重要。