[论文解读] Constantes de Seshadri du diviseur anticanonique des surfaces de del Pezzo

Amaël Broustet|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 13

一句话总结

本文计算了光滑 del Pezzo 曲面在每一点处的反 canonical 线丛的 Seshadri 常数，表明其取决于该点相对于有理曲线的位置。当 $ r \leq 5 $ 时，一般点处的常数为 2，其他点处为 1；当 $ r = 6 $ 时，分别为 $ 3/2 $ 和 1；当 $ r = 7 $ 时，分别为 $ 4/3 $ 和 1；当 $ r = 8 $ 时，最多 12 个特殊点处的常数为 $ 1/2 $，其余点处为 1。该计算依赖于有理曲线，但本文还表明，有理曲线本身并不总能检测出反 canonical 线丛的正性。

ABSTRACT

We compute in this note the Seshadri constants of the anticanonical bundle at every point of Del Pezzo surfaces. During the proof, we enlight the role of rational curves in our computations. We present then two exemples where the positivity of the anticanonical bundle cannot be detected using rational curves.

研究动机与目标

• 计算光滑 del Pezzo 曲面上反 canonical 线丛在每一点处的 Seshadri 常数。
• 阐明有理曲线在这些曲面上计算 Seshadri 常数时的作用。
• 证明有理曲线可能无法检测出反 canonical 线丛的全部正性。
• 根据 blown-up 点的配置，提供 Seshadri 常数的显式值。
• 构造反例，表明尽管与所有有理曲线的交数为正，但反 canonical 线丛并非 nef 或伪有效。

提出的方法

• 使用 Seshadri 常数的定义，即对通过某点的不可约曲线取下确界：$ \varepsilon(D;x) = \inf_{x\in C} \frac{D\cdot C}{\operatorname{mult}_x C} $。
• 利用 del Pezzo 曲面的性质：当 $ r \leq 8 $ 时，反 canonical 除子是非常 ample 的，从而保证 $ \varepsilon(-K_S;x) \geq 1 $。
• 应用线性系统 $ V(d;r_1x_1,\dots,r_nx_n) $ 的维数估计，以保证具有指定重数的曲线的存在性。
• 应用 Demazure 定理，说明在一般位置条件下，通过八个点存在光滑的三次曲线。
• 通过线性系统 $ |3mE_0 - mE_1 - \cdots - mE_8 - (m-1)E_9| $ 构造有理曲线，以分析 Seshadri 常数的渐近行为。
• 使用 [GLS] 中的引理，证明 Seshadri 常数可作为有理曲线序列上比值的极限来逼近。

实验结果

研究问题

• RQ1 光滑 del Pezzo 曲面上反 canonical 线丛在每一点处的 Seshadri 常数的确切值是什么？
• RQ2 点的位置（一般点与特殊点）如何影响反 canonical 除子的 Seshadri 常数？
• RQ3 在 del Pezzo 曲面上，有理曲线在多大程度上能检测出反 canonical 线丛的正性？
• RQ4 是否存在某些曲面，其反 canonical 线丛不是 nef 或伪有效，但与所有有理曲线的交数均为正？
• RQ5 即使没有单条曲线能实现 Seshadri 常数，是否仍能通过有理曲线序列的比值来逼近它？

主要发现

• 当 $ r \leq 5 $ 时，$ \varepsilon(-K_{X_r};x) = 2 $ 在一般点处，其他点处为 $ 1 $。
• 当 $ r = 6 $ 时，$ \varepsilon(-K_{X_6};x) = 3/2 $ 在一般点处，其他点处为 $ 1 $。
• 当 $ r = 7 $ 时，$ \varepsilon(-K_{X_7};x) = 4/3 $ 在一般点处，其他点处为 $ 1 $。
• 当 $ r = 8 $ 时，$ \varepsilon(-K_{X_8};x) = 1/2 $ 在最多 12 个特殊点处，其他点处为 $ 1 $。
• 当 $ r = 8 $ 时，Seshadri 常数并不总由单条有理曲线实现，但可作为有理曲线序列的极限逼近。
• 存在某些有理曲面，使得 $ -K_X $ 既不是 nef 也不是伪有效，但对所有有理曲线 $ C $ 都有 $ -K_X \cdot C > 0 $。