[论文解读] Constants of motion for fractional action-like variational problems

Gastão S. F. Frederico, Delfim F. M. Torres|ArXiv.org|Jul 19, 2006

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 11被引用 32

一句话总结

本文通过使用黎曼-刘维尔积分，将诺特定理推广至分数阶作用量类变分问题，推导出包含非保守力系统的新型运动常数。该研究建立了一个广义的诺特型定理，当分数阶参数 α = 1 时，该定理退化为经典的能量与动量守恒定律。

ABSTRACT

We extend Noether's symmetry theorem to the fractional Riemann-Liouville integral functionals of the calculus of variations recently introduced by El-Nabulsi.

研究动机与目标

• 将诺特定理推广至使用黎曼-刘维尔积分泛函的分数阶变分问题。
• 通过引入分数阶动力学，解决经典运动常数在非保守系统中失效的问题。
• 在传统守恒定律不再成立的分数阶作用量类框架中，推导出运动常数的显式表达式。
• 通过分数阶微积分，将保守与非保守动力学统一于同一诺特型框架之下。
• 当分数阶参数 α 趋近于 1 时，恢复经典守恒定律（能量与动量）。

提出的方法

• 通过参数 α ∈ (0,1] 的黎曼-刘维尔积分泛函，构建分数阶作用量类变分问题。
• 推导出包含与 (1−α)/(t−θ) 成比例的非局部项的泛函欧拉-拉格朗日方程，该非局部项用于描述非保守效应。
• 为时间与状态变量的无穷小变换引入广义的拟不变性条件。
• 通过要求一个特定条件（公式 8）将拉格朗日量、对称性生成元与规范函数 Λ 联系起来，建立新的诺特型定理。
• 推导出一个守恒量（公式 9），其为状态共轭动量、拉格朗日量减去其共轭动量，以及规范项 Λ 的组合。
• 通过验证：当欧拉-拉格朗日方程与拟不变性条件均满足时，该守恒量沿极值曲线保持恒定，从而验证该定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 诺特定理如何推广至使用黎曼-刘维尔积分的分数阶变分问题？
• RQ2 在传统守恒定律失效的分数阶作用量类系统中，运动常数呈现何种形式？
• RQ3 能否通过分数阶积分形式将非保守力纳入诺特框架？
• RQ4 当 α = 1 时，新推导的运动常数如何退化为经典能量与动量守恒定律？
• RQ5 规范函数 Λ 与时间尺度参数 t 在修改守恒量中起何种作用？

主要发现

• 本文推导出分数阶作用量类变分问题的新型守恒量，表达式为 ∂₃L·ξ + (L − ∂₃L·q̇)τ − Λ，当作用量满足拟不变性且条件（8）成立时，该量保持守恒。
• 对于自治拉格朗日量（L(q̇, q)），守恒量简化为 L − ∂L/∂q̇·q̇ − (1−α)∫(1/(t−θ))(∂L/∂q̇·q̇)dθ，该表达式推广了能量守恒。
• 当拉格朗日量与 q 无关时，守恒量为 ∂L/∂q̇ + (1−α)∫(1/(t−θ))(∂L/∂q̇)dθ，该表达式推广了动量守恒。
• 在经典极限 α → 1 时，所推导的守恒量精确退化为标准的能量与动量守恒定律。
• 非局部项 (1−α)/(t−θ) 明确地描述了非保守效应，使该框架能够建模耗散系统。
• 结果表明，埃尔-纳布勒西的分数阶作用量类方法支持非保守系统的一致诺特型理论。