[论文解读] Constrained and stochastic variational principles for dissipative equations with advected quantities

Xin Chen, Ana Bela Cruzeiro+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2015

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 46被引用 12

一句话总结

本文为具有平移量的耗散系统在李群上的约束和随机变分原理提供了形式化，从而推导出确定性的、空间表示的运动方程。通过将该理论应用于微分同胚群，作为主要应用，推导出一种黏性可压缩磁流体动力学（MHD）系统。

ABSTRACT

We develop symmetry reduction for material stochastic Lagrangian systems with advected quantities whose configuration space is a Lie group, obtaining deterministic constrained variational principles and dissipative equations of motion in spatial representation. We discuss in detail the situation when the group in the general theory is a group of diffeomorphisms and derive, as an application, an MHD system for viscous compressible fluids.

研究动机与目标

• 为具有平移量的李群上的耗散系统发展变分原理。
• 通过对称性约化统一随机与确定性表述。
• 为具有耗散的物理系统推导运动方程的空间表示。
• 将该框架应用于微分同胚群，获得黏性可压缩MHD系统。

提出的方法

• 在具有平移量的李群上的材料随机拉格朗日系统中应用对称性约化。
• 应用欧拉-庞加莱约化推导空间表示的运动方程。
• 通过李代数结构施加约束以模拟耗散效应。
• 在拉格朗日框架中引入随机性以考虑随机涨落。
• 将一般理论应用于微分同胚群以模拟流体动力学。
• 将黏性可压缩MHD系统作为一般框架的特例推导出来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将变分原理扩展以同时包含具有平移量系统的耗散性和随机性？
• RQ2 对称性约化在将材料空间的随机拉格朗日量转化为空间运动方程中起什么作用？
• RQ3 李群的选择，特别是微分同胚群，如何影响所得流体动力学方程？
• RQ4 该一般框架能否一致地从随机变分原理导出黏性可压缩MHD系统？
• RQ5 为确保随机拉格朗日量与推导出的耗散方程之间的一致性，需要哪些几何与代数结构？

主要发现

• 该理论成功通过约化方法，从对称性出发，推导出具有平移量的耗散系统的确定性、空间表示的运动方程。
• 该框架在李群上的几何设定中统一了随机与约束变分原理。
• 将该理论应用于微分同胚群，首次导出了一个一致的黏性可压缩MHD系统作为新颖结果。
• 所推导的MHD系统通过底层李群的几何结构同时包含了黏性和可压缩性。
• 该方法保持了系统的物理结构，包括与平移量相关的守恒律。
• 该方法为从随机拉格朗日模型系统性地导出流体动力学中有物意义的耗散PDE提供了路径。