[论文解读] Constrained BSDE and Viscosity Solutions of Variation Inequalities

Shigē Péng, Mingyu Xu|ArXiv.org|Dec 3, 2007

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 8被引用 13

一句话总结

本文建立了带约束的倒向随机微分方程（BSDE）的最小g-上解与带约束的半线性抛物型PDE（即变分不等式）的粘性解之间的联系。通过带约束的BSDE证明了解的存在性，并在约束函数满足Lipschitz连续性和严格单调性条件下证明了解的唯一性。

ABSTRACT

In this paper, we study the relation between the smallest $g$-supersolution of constraint backward stochastic differential equation and viscosity solution of constraint semilineare parabolic PDE, i.e. variation inequalities. And we get an existence result of variation inequalities via constraint BSDE, and prove a uniqueness result under certain condition.

研究动机与目标

• 通过带约束的BSDE，建立约束半线性PDE（变分不等式）的粘性解的概率表征。
• 通过带约束的BSDE的最小g-上解，证明变分不等式粘性解的存在性。
• 在约束函数具有额外正则性和单调性条件下，建立约束PDE的粘性解的唯一性。
• 将粘性解的概率解释推广至由Lipschitz函数定义的一般约束集的情形。

提出的方法

• 构造一个带约束函数 $\Phi \geq 0$ 的带约束BSDE，其中解 $Y_t^{t,x}$ 需保持在由 $\Phi$ 定义的给定集合内。
• 利用最小递增过程 $A_t^{t,x}$ 强制实施约束，确保解为支配约束的最小g-上解。
• 通过分析解 $u_\alpha(t,x) = Y_t^{t,x,\alpha}$ 沿 $\alpha \to \infty$ 的极限，应用粘性解理论。
• 采用惩罚方法，通过 $F_\alpha = F_0 + \alpha \Phi^-$ 将带约束PDE逼近为一系列无约束PDE。
• 利用比较原理以及 jets $\mathcal{P}^{2,+}$ 和 $\mathcal{P}^{2,-}$ 的性质，验证粘性次解与超解条件。
• 基于原PDE的任意粘性超解必为惩罚PDE的超解这一事实，应用比较论证，从而得出唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 带约束BSDE的最小g-上解能否被表征为对应变分不等式的粘性解？
• RQ2 在何种条件下，可通过BSDE方法证明约束PDE的粘性解存在？
• RQ3 需要哪些额外假设才能确保约束PDE的粘性解唯一？
• RQ4 惩罚方法 $F_\alpha = F_0 + \alpha \Phi^-$ 与粘性解收敛性有何关系？
• RQ5 $\Phi$ 关于 $y$ 的严格单调性在确保粘性解唯一性方面起什么作用？

主要发现

• 证明了带约束BSDE的最小g-上解，对每个 $\alpha$，均为惩罚PDE $\partial_t u + F_\alpha = 0$ 的不连续粘性超解。
• 极限 $u(t,x) = \lim_{\alpha \to \infty} u_\alpha(t,x)$ 是一个下确界连续函数，满足原始变分不等式 $\partial_t u + F_0 = 0$ 及约束 $\Phi \geq 0$。
• 函数 $u(t,x)$ 被证明是变分不等式的粘性解，满足次解与超解条件。
• 解 $u(t,x)$ 是变分不等式的最小粘性超解，即任一其他粘性超解必须支配它。
• 在附加假设下，若 $g$ 关于 $x$ 局部Lipschitz连续，模为 $m_R$，且 $\Phi$ 关于 $y$ 严格递增，则变分不等式至多存在一个局部有界粘性解。
• 通过比较论证建立唯一性结果，表明原PDE的任意粘性超解必须支配解 $u(t,x)$，因此 $u$ 为最小且唯一。