[论文解读] Constrained Monotone Function Maximization and the Supermodular Degree

Moran Feldman, Rani Izsak|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 30被引用 28

一句话总结

该论文提出了首个已知的在k-可扩展系统约束下，针对任意单调集合函数最大化问题的近似算法，采用一种自适应于函数超模度的贪心方法。该算法实现了(1−e−1/(d+1))的近似比，既推广了Fisher-Nemhauser-Wolsey针对子模函数的结果，也推广了Feige-Izsak在福利最大化中的结果，且在特殊情况下未损失近似质量。

ABSTRACT

The problem of maximizing a constrained monotone set function has many practical applications and generalizes many combinatorial problems. Unfortunately, it is generally not possible to maximize a monotone set function up to an acceptable approximation ratio, even subject to simple constraints. One highly studied approach to cope with this hardness is to restrict the set function. An outstanding disadvantage of imposing such a restriction on the set function is that no result is implied for set functions deviating from the restriction, even slightly. A more flexible approach, studied by Feige and Izsak, is to design an approximation algorithm whose approximation ratio depends on the complexity of the instance, as measured by some complexity measure. Specifically, they introduced a complexity measure called supermodular degree, measuring deviation from submodularity, and designed an algorithm for the welfare maximization problem with an approximation ratio that depends on this measure. In this work, we give the first (to the best of our knowledge) algorithm for maximizing an arbitrary monotone set function, subject to a k-extendible system. This class of constraints captures, for example, the intersection of k-matroids (note that a single matroid constraint is sufficient to capture the welfare maximization problem). Our approximation ratio deteriorates gracefully with the complexity of the set function and k. Our work can be seen as generalizing both the classic result of Fisher, Nemhauser and Wolsey, for maximizing a submodular set function subject to a k-extendible system, and the result of Feige and Izsak for the welfare maximization problem. Moreover, when our algorithm is applied to each one of these simpler cases, it obtains the same approximation ratio as of the respective original work.

研究动机与目标

• 开发一种在k-可扩展系统约束下，针对单调集合函数最大化的通用近似算法。
• 将现有子模函数最大化与福利最大化结果推广至任意单调函数。
• 设计一种近似比随超模度（衡量非子模性偏离程度）平滑退化的算法。
• 在子模函数或福利最大化情形下，与先前工作相比不损失近似质量，实现相同近似比。
• 建立一个下界结果，表明在小集合扩张假设下，该近似比几乎是最优的。

提出的方法

• 提出一种贪心算法，通过基于候选集（源自最优解）的边际增益迭代选择元素。
• 引入一种新颖的分析技术，利用超模度d′来界定所选元素的边际增益。
• 采用递归不等式，基于k-可扩展系统性质，以f(S₀)和f(OPT)表示解集Sℓ的值。
• 利用D+(u)和候选对(u, D+(u) ∩OPT)的概念，建模每一步可能的最佳边际增益。
• 对OPT ∖ S₀中的元素应用分摊论证，推导出每次迭代的改进下界。
• 证明近似比至少为1−e−1/(d′+1)，且该界在小的加法误差范围内是紧的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种单一算法，在应用于子模函数或福利最大化问题时，与先前工作保持相同的近似比，且不损失性能？
• RQ2 在k-可扩展系统的一般设定下，超模度d′如何影响近似比？
• RQ3 能否为k-可扩展约束下的任意单调集合函数设计一种贪心算法，使其性能随函数复杂度的增加而平滑退化？
• RQ4 在小集合扩张假设下，该类问题的最佳可能近似比是多少？
• RQ5 超模度能否作为有意义的复杂度度量，统一不同函数类的近似保证？

主要发现

• 所提出的算法在k-可扩展系统约束下，对单调集合函数最大化问题实现了(1−e−1/(d′+1))-近似比。
• 当特化为子模函数（d′=0）时，该算法恢复了Fisher、Nemhauser和Wolsey的(1−1/e)-近似比。
• 在福利最大化问题中，该算法与Feige和Izsak的(1/(d+2))-近似比一致，其中d为超模度。
• 随着超模度的增加，算法性能平滑退化，表明对非子模性偏离具有鲁棒性。
• 一个下界结果表明，在小集合扩张假设下，任何多项式时间算法都无法获得优于1−e−1/(d+1)的近似比。
• 当应用于其特定问题类时，该算法保持了与先前工作相同的近似保证，证明了通用性不带来性能惩罚。