[论文解读] Constrained Polynomial Zonotopes

Niklas Kochdumper, Matthias Althoff|arXiv (Cornell University)|May 18, 2020

Advanced Combinatorial Mathematics被引用 8

一句话总结

本文提出了一种新的非凸集合表示方法——约束多项式齐次体（CPZ），该方法在广泛的集合运算下保持封闭性，包括线性映射、Minkowski 和、交集、并集以及高阶映射，同时保持多项式时间复杂度。核心贡献是一种统一的表示形式，可推广齐次体、多面体、泰勒模型和椭球体，从而在控制与验证应用中实现高效且精确的集合运算。

ABSTRACT

We introduce constrained polynomial zonotopes, a novel non-convex set representation that is closed under linear map, Minkowski sum, Cartesian product, convex hull, intersection, union, and quadratic as well as higher-order maps. We show that the computational complexity of the above-mentioned set operations for constrained polynomial zonotopes is at most polynomial in the representation size. The fact that constrained polynomial zonotopes are generalizations of zonotopes, polytopes, polynomial zonotopes, Taylor models, and ellipsoids, further substantiates the relevance of this new set representation. The conversion from other set representations to constrained polynomial zonotopes is at most polynomial with respect to the dimension.

研究动机与目标

• 开发一种非凸集合表示方法，支持控制与验证中基本集合运算的精确且高效计算。
• 在单一框架下统一现有集合表示方法，如齐次体、多面体、泰勒模型和椭球体。
• 确保所有运算（包括二次及更高阶映射）在表示规模下均为封闭且可在多项式时间内计算。
• 实现从其他表示形式（如齐次体、多面体）到 CPZ 的高效转换，且复杂度为多项式时间。
• 提供尺寸缩减与外逼近技术，以支持在高维集合计算中的实际应用。

提出的方法

• 通过紧凑参数形式表示 CPZ：⟨c, G, E, A, b, R⟩_CPZ，其中 c 为中心，G 和 E 定义多项式项，A 和 R 定义约束，b 为约束向量。
• 通过变量代换与二项式展开，将有界变量 αᵣ ∈ [l,u] 转换为辅助变量 α̂ᵣ ∈ [−1,1]，从而精确表示受限范围。
• 应用子集运算以在范围内隔离特定变量，利用变换后的生成元与约束矩阵以保持结构。
• 通过缩放单项式的二项式系数展开，推导新的生成矩阵 Ĝᵢ 与约束矩阵 Âᵢ。
• 使用 compactGen 与 compactCon 操作对表示进行尺寸压缩，并在运算后保持规范形式。
• 通过子集运算与紧凑化操作，实现从其他表示（如齐次体、多面体）到 CPZ 的多项式时间转换。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种非凸集合表示方法，使其在包括线性映射、Minkowski 和、交集、并集及高阶映射在内的运算下保持封闭性？
• RQ2 在该表示中，是否可确保所有基本集合运算均保持多项式时间复杂度？
• RQ3 该表示能否推广现有的集合类型，如齐次体、多面体、泰勒模型与椭球体？
• RQ4 如何在保持精确性与运算封闭性的前提下最小化表示尺寸？
• RQ5 能否以多项式时间复杂度实现从其他表示形式到该新形式的高效转换？

主要发现

• 约束多项式齐次体在以下运算下保持封闭：线性映射、Minkowski 和、笛卡尔积、凸包、交集、并集，以及二次及更高阶映射。
• 所有 CPZ 上的集合运算其计算复杂度最多为表示规模的多项式函数，从而支持可扩展计算。
• 该表示形式统一推广了齐次体、多面体、多项式齐次体、泰勒模型与椭球体，实现了多种集合类型的统一。
• 从其他表示形式（如齐次体、多面体）到 CPZ 的转换可在维度的多项式时间内完成。
• 提供了高效的尺寸缩减与外逼近技术，使该方法在高维集合计算中具有实际应用价值。
• 子集运算可实现 CPZ 中有界变量的精确变换，通过二项式展开与矩阵重参数化保持结构完整性。