[论文解读] Constraint Coupled Distributed Optimization: a Relaxation and Duality Approach

Ivano Notarnicola, Giuseppe Notarstefano|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2017

Metal-Organic Frameworks: Synthesis and Applications被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于约束耦合凸优化的新型完全分布式算法，通过松弛和对偶理论，使每个代理能够在不进行平均的情况下计算其局部最优解。该方法通过简单的本地优化和线性更新，确保渐近的原始可行性并收敛至全局最优解，具有理论保证，并在微电网模型预测控制（MPC）案例研究中得到验证。

ABSTRACT

In this paper we consider a general, challenging distributed optimization set-up arising in several important network control applications. Agents of a network want to minimize the sum of local cost functions, each one depending on a local variable, subject to local and coupling constraints, with the latter involving all the decision variables. We propose a novel fully distributed algorithm based on a relaxation of the primal problem and an elegant exploration of duality theory. Despite its complex derivation, based on several duality steps, the distributed algorithm has a very simple and intuitive structure. That is, each node finds a primal-dual optimal solution pair of a local, relaxed version of the original problem, and then updates suitable auxiliary local variables. We prove that agents asymptotically compute their portion of an optimal (feasible) solution of the original problem. This primal recovery property is obtained without any averaging mechanism typically used in dual decomposition methods. To corroborate the theoretical results, we show how the methodology applies to an instance of a Distributed Model Predictive Control scheme in a microgrid control scenario.

研究动机与目标

• 为解决分布式求解涉及所有代理变量的耦合约束的约束耦合凸优化问题的挑战。
• 开发一种完全分布式算法，使每个代理能够在不依赖集中协调或平均机制的情况下计算全局最优解的对应部分。
• 通过新颖的松弛和对偶框架，建立对最优代价和原始可行性的理论收敛性。
• 在涉及微电网中协同分布式模型预测控制（MPC）的实际应用场景中验证该方法。

提出的方法

• 该算法基于原问题的松弛，将原始耦合问题转化为可通过对偶理论实现分布式求解的形式。
• 每个代理求解其自身的局部松弛问题，以找到原始-对偶最优对，使用其自身的目标函数和本地约束。
• 代理通过类似一致性更新的线性方式更新辅助变量（对偶乘子），以追踪其他代理对耦合约束的贡献。
• 该方法采用一系列对偶步骤，确保对偶变量收敛至可直接恢复原始解的解。
• 松弛策略允许在瞬态阶段实现耦合约束的可行性，即使惩罚参数为正。
• 该算法通过将原始解恢复直接嵌入对偶更新过程中，避免了标准的平均化机制。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否能够设计一种完全分布式算法，在无需集中协调或平均步骤的情况下求解约束耦合凸优化问题？
• RQ2 如何结合对偶性和松弛策略，以确保在分布式环境中对偶收敛与原始可行性？
• RQ3 辅助变量在实现代理间对耦合约束贡献的分布式追踪中起到何种作用？
• RQ4 所提方法能否在收敛至全局最优代价的同时恢复可行的原始解？
• RQ5 该算法在微电网中分布式MPC等实际协同控制场景下的表现如何？

主要发现

• 该算法渐近地将惩罚参数之和驱动至零，表明已收敛至最优对偶解。
• 耦合约束的最大违反程度随时间减小，并在瞬态阶段即达到可行性，即使惩罚参数为正。
• 分布式对偶变量准确追踪了其他代理对耦合约束的总贡献，确保了约束的精确执行。
• 代价误差以次线性速度收敛至零，符合次梯度方法的预期，且归一化代价差随迭代次数减少。
• 每个代理成功计算了其对应部分的全局最优解，且无需任何关于原始变量的平均或一致性操作。
• 在包含T=12个时间步长的10台机组微电网上的数值结果证实了该方法在实际协同MPC场景中的可行性与收敛性。