[论文解读] Constraint Energy Minimizing Generalized Multiscale Finite Element Method for high-contrast linear elasticity problem

Shubin Fu, Eric T. Chung|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2018

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 19被引用 7

一句话总结

本文提出了一种用于高对比度线弹性问题的离线/在线约束能量最小化广义多尺度有限元方法（CEM-GMsFEM）。该方法通过在过度采样区域进行能量最小化构造多尺度基函数，提升了精度与鲁棒性，并引入基于残差的自适应在线增强策略，实现了在二维和三维数值实验中快速收敛与高精度，显著降低了误差。

ABSTRACT

In this paper, we consider the offline and online Constraint Energy Minimizing Generalized Mul- tiscale Finite Element Method (CEM-GMsFEM) for high-contrast linear elasticity problem. Offline basis construction starts with an auxiliary multiscale space by solving local spectral problems. We select eigenfunctions that correspond to a few small eigenvalues to form the auxiliary space. Using the auxiliary space, we solve a constraint energy minimization problem to construct offline multiscale spaces. The minimization problem is defined in the oversampling domain, which is larger than the target coarse block. To get a good approximation space, the oversampling domain should be large enough. We also propose a relaxed minimization problem to construct multiscale basis functions, which will yield more accurate and robust solution. To take into account the influence of input pa- rameters, such as source terms, we propose the construction of online multiscale basis and an adaptive enrichment algorithm. We provide extensive numerical experiments on 2D and 3D models to show the performance of the proposed method.

研究动机与目标

• 为解决由于细尺度非均质性导致的高计算成本的高对比度线弹性问题挑战。
• 通过在过度采样区域引入约束能量最小化，提升多尺度方法的精度与鲁棒性。
• 开发一种基于残差信息的自适应在线增强策略，以动态增强多尺度空间。
• 通过广泛的二维和三维数值实验，证明该方法的有效性，涵盖不同对比度与粗网格尺寸。

提出的方法

• 通过求解局部特征值问题并选取对应最小特征值的特征函数，构建辅助多尺度空间。
• 在大于粗网格块的过度采样区域内，通过求解约束能量最小化问题，形成离线多尺度基函数。
• 引入最小化问题的松弛版本，以在不引入约束的情况下提升精度与稳定性。
• 利用粗网格解的残差作为源项，在过度采样区域内求解局部能量最小化问题，构造在线多尺度基函数。
• 实施一种自适应增强算法，基于误差指标选择增强区域，优先选择残差较高的区域。
• 采用均匀与自适应增强策略进行对比，分析收敛行为与误差降低效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 在过度采样区域内进行约束能量最小化，是否能提升高对比度线弹性问题多尺度近似的精度与鲁棒性？
• RQ2 与约束版本相比，松弛的能量最小化公式在解的精度与稳定性方面表现如何？
• RQ3 与均匀增强相比，自适应在线增强在多大程度上降低了误差，特别是在解梯度较高的区域？
• RQ4 过度采样层数与基函数数量如何影响收敛速率及对介质对比度的鲁棒性？

主要发现

• 松弛的CEM-GMsFEM相比标准约束版本具有更快的收敛速度与更高的精度，尤其在高对比度介质中表现更优。
• 自适应在线增强比均匀增强更有效地降低L²误差，且随着基函数数量增加，误差迅速衰减。
• 在模型1中，使用4个离线基函数和4个过度采样层，L²误差从1.55e-02降低至3.54e-07，展现出极高的精度。
• 在模型2中，将过度采样层数从3增加到4，H¹误差从1.10e-01降低至2.66e-02，表明对对比度变化具有更强的鲁棒性。
• 该方法在不同粗网格尺寸下均保持良好性能，当H从1/8减小到1/16时，观察到收敛现象。
• 采用自适应选择的在线增强在27,798个自由度后，L²误差降低至3.10e-05，误差降低速度优于均匀增强。