[论文解读] Constraint qualifications and optimality conditions in bilevel optimization

Jane J. Ye|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2019

Optimization and Variational Analysis被引用 4

一句话总结

本文为双层优化问题开发了可检验的约束条件资格与最优性条件，重点关注下层问题为凸与非凸的情形。提出了组合问题的松弛常正线性依赖（RCPLD）条件，以及通过广义方程建立的精确必要最优性条件，优于传统的互补约束数学规划（MPCC）。主要贡献在于基于价值函数上界估计提出了一种可验证的M-稳定条件。

ABSTRACT

In this paper we study constraint qualifications and optimality conditions for bilevel programming problems. We strive to derive checkable constraint qualifications in terms of problem data and applicable optimality conditions. For the bilevel program with convex lower level program we discuss drawbacks of reformulating a bilevel programming problem by the mathematical program with complementarity constraints and present a new sharp necessary optimality condition for the reformulation by the mathematical program with a generalized equation constraint. For the bilevel program with a nonconvex lower level program we propose a relaxed constant positive linear dependence (RCPLD) condition for the combined program.

研究动机与目标

• 为解决将双层规划重新表述为互补约束数学规划（MPCC）的局限性，特别是当下层问题为非凸或存在多个乘子时。
• 为具有非凸下层问题的双层规划开发可检验、可验证的约束资格条件——特别是松弛常正线性依赖（RCPLD）条件。
• 通过将双层规划重新表述为具有广义方程约束的数学规划，建立双层规划的精确必要最优性条件。
• 提出一种基于价值函数上界估计的新M-稳定条件，该条件比现有条件更弱且更具适用性。
• 确保最优性条件在价值函数满足Lipschitz连续性下适用，并通过线性化锥与法锥理论验证其有效性。

提出的方法

• 利用下层问题的KKT条件，将双层规划重新表述为具有广义方程约束的数学规划。
• 为组合问题引入松弛常正线性依赖（RCPLD）条件，其定义基于包含下层拉格朗日梯度的雅可比矩阵的秩。
• 应用价值函数方法，通过集合 $W(\bar{x})$ 对价值函数的极限次微分进行上界估计，从而推导出M-稳定条件。
• 使用MPEC线性化锥 ${\cal L}^{MPEC}$ 来定义重构问题可行域的切锥。
• 采用变分分析工具，包括Fréchet与Mordukhovich法锥，以刻画稳定性和约束资格。
• 在解点处建立问题的弱鲁棒性，以确保乘子的存在性及最优性条件的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有非凸下层问题的双层规划推导出可检验的约束资格条件？
• RQ2 如何改进经典MPCC重构方法，以避免在存在多个乘子时出现局部最优性非等价的问题？
• RQ3 当双层规划被重构为具有广义方程约束的数学规划时，其精确必要最优性条件是什么？
• RQ4 基于价值函数上界估计的M-稳定条件在何种条件下成立？
• RQ5 RCPLD条件与双层优化中解的存在性及稳定性之间有何关系？

主要发现

• 当矩阵 $J^{*}$ 的秩等于 $m+n+r+s-|I_{u}|$ 时，RCPLD条件可被验证，从而确保基于价值函数的M-稳定条件有效。
• 基于价值函数上界估计的M-稳定条件比基于精确价值函数的条件更弱，因此适用范围更广。
• 在最优性条件验证过程中，无需包含价值函数约束 $f(x,y)-V(x)\leq 0$，从而简化了重构过程。
• 当价值函数在 $\bar{x}$ 处满足Lipschitz连续性时，RCPLD条件成立，且基于价值函数上界估计的M-稳定条件是局部解的必要条件。
• MPEC线性化锥 ${\cal L}^{MPEC}$ 被用于定义重构问题可行域的切锥，从而支持稳定条件的推导。
• 在解点处问题的弱鲁棒性，结合 $W(\bar{x})$ 的紧致性，可确保解满足基于上界估计的M-稳定条件。