[论文解读] Constraints and gauge transformations: Dirac's theorem is not always valid

Julian Barbour, Brendan Foster|ArXiv.org|Aug 8, 2008

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 6被引用 64

一句话总结

本文挑战了规范量子引力理论中的基础假设，即哈密顿约束仅生成规范变换而非物理变化。通过分析诸如雅可比原理这类重参数化不变系统，作者表明，支撑该信念的狄拉克定理——在未假设绝对时间时失效，证明哈密顿约束可产生真实的物理演化。

ABSTRACT

A standard tenet of canonical quantum gravity is that evolution generated by a Hamiltonian constraint is just a gauge transformation on the phase space and therefore does not change the physical state. The basis for this belief is a theorem of Dirac that identifies primary first-class constraints as generators of physically irrelevant motions. We point out that certain assumptions on which Dirac based his argument do not hold for reparametrization invariant systems, and show that the primary Hamiltonian constraint of these systems does generate physical motion. We show explicitly how the argument fails for systems described by Jacobi's principle, which has a structure closely resembling that of general relativity. We defer discussion of general relativity and the implications for quantum gravity to a later paper.

研究动机与目标

• 挑战规范量子引力中普遍存在的信念，即哈密顿约束仅生成规范变换。
• 识别狄拉克原始论证中的缺陷，该论证假设了哈密顿演化中的绝对时间参数。
• 证明在重参数化不变系统（如受雅可比原理支配的系统）中，哈密顿约束产生的是物理变化，而非仅规范变换。
• 主张约束必须根据其物理起源逐案评估，而非假设所有第一类约束均为规范生成器。
• 为重新思考广义相对论和量子引力中哈密顿约束的作用奠定基础。

提出的方法

• 分析重参数化不变（RI）系统的结构，特别是雅可比原理，其数学形式与广义相对论的作用量相同。
• 指出狄拉克证明第一类初级约束为规范生成器的论证，依赖于绝对时间参数的假设，而该假设在RI系统中不成立。
• 补全狄拉克论证中针对RI系统的缺失显式计算，表明由哈密顿约束生成的正则演化导致物理上不同的状态。
• 将RI系统中哈密顿约束的行为与标准规范理论（如电动力学）进行对比，后者中高斯约束确实生成规范变换。
• 利用RI系统中哈密顿量恒为零（H = 0）但演化并非平凡的事实，表明其具有物理内容。
• 证明解中出现的任意函数并非源于规范自由度本身，而是源于初始数据在配置空间中为一点与一方向的物理约束。

实验结果

研究问题

• RQ1 狄拉克关于第一类初级约束为规范生成器的定理是否适用于广义相对论中的重参数化不变系统？
• RQ2 在时间非绝对的系统中（如雅可比原理），哈密顿约束的物理角色是什么？
• RQ3 为何重参数化不变系统中的约束虽为第一类且初级，却仍生成物理变化？
• RQ4 为何缺乏绝对时间会推翻狄拉克原始证明中此类约束仅生成规范变换的结论？
• RQ5 广义相对论中的哈密顿约束能否同时是规范生成器和物理演化生成器？

主要发现

• 由于缺乏绝对时间，狄拉克证明第一类初级约束生成规范变换的论证在重参数化不变系统中失效。
• 在雅可比原理中——其结构与广义相对论类似——哈密顿约束生成的是物理演化，而非仅规范变换。
• 约束系统解中出现的任意函数并非规范自由度的固有标志，而是源于初始位置与方向的物理指定。
• 并非所有第一类约束都生成非物理运动；其物理意义必须基于底层动力学评估，而非仅依据代数分类。
• 广义相对论中的哈密顿约束可能部分是物理变化的生成器，这挑战了量子引力中的标准正统观念。
• 在量子引力中，可观测量无需为“永恒量”（即与哈密顿约束对易的算符），尤其是在更简单的重参数化不变系统中。