[论文解读] Constructible 1-motives and exactness

Simon Pepin Lehalleur|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 3

一句话总结

本论文证明了在诺therian、有限维、优的概形 S 上，对于上同调 1-动机的构造可动机 t-结构，其拉回、贝蒂与étale 实现函子均为 t-正合。在温和的奇点解消假设下，论文进一步证明该 t-结构限制于紧致 1-动机，且每个构造可 1-动机均可被 S 的正则子概形分层，使得其限制成为德利涅 1-动机。

ABSTRACT

We prove that arbitrary pullbacks, as well as Betti and étale realisation functors, are t-exact for the constructible motivic t-structure on the category of cohomological 1-motives over a base scheme.

研究动机与目标

• 证明构造可动机 t-结构在上同调 1-动机上关于任意拉回是保持的。
• 建立该 t-结构下贝蒂与étale 实现函子的 t-正合性。
• 证明该 t-结构限制于紧致 1-动机的全子范畴。
• 证明每个构造可 1-动机均可被基概形 S 分层为正则子概形，使得其在每个分层上的限制为德利涅 1-动机。
• 通过与 Vaish 的粘合 t-结构方法不同的新方法，提供拉回 t-正合性的新证明，为未来方法统一提供可能。

提出的方法

• 使用先前工作中在奇点解消假设下构造的基概形 S 上上同调 1-动机的动机 t-结构。
• 基于 S 的维数进行归纳，利用若闭浸入 i:Z→S 满足 dim Z < dim S，则拉回函子 i* 由归纳假设为 t-正合的性质。
• 利用开与闭浸入的局部化序列中的典型三角形，分析动机的上同调截断。
• 应用光滑动机的绝对紧致性，通过公式 k_i^!M ≃ k_i^*M(−c_i)[−2c_i] 计算沿余维数为 c_i 的正则浸入的 !-拉回，其中 k_i 为正则浸入。
• 利用在解消假设下 ω¹ 保持紧致对象的性质，并应用权重截断函子 ω¹ 将其限制于 1-动机。
• 依赖德利涅 1-动机（格与半阿贝尔概形）的结构及其在基变换下的行为，以建立分层结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于上同调 1-动机的构造可动机 t-结构，任意拉回是否 t-正合？
• RQ2 当目标范畴配备其标准 t-结构时，贝蒂与étale 实现函子是否 t-正合？
• RQ3 1-动机上的动机 t-结构是否限制于紧致 1-动机子范畴？
• RQ4 每个构造可 1-动机是否可被 S 分层为正则子概形，使得其在每个分层上的限制为德利涅 1-动机？
• RQ5 是否可使用不同于 Vaish 的 t-结构粘合方法（通过权重截断）来证明 t-正合性结果？

主要发现

• 在基概形 S 上，上同调 1-动机范畴上的动机 t-结构限制于紧致 1-动机的全子范畴，确认了限制 t-结构的心是良好定义的。
• 在 S 允许通过变换实现奇点解消的条件下，任意概形间映射的拉回函子对于构造可动机 t-结构是 t-正合的。
• 当目标范畴配备其标准 t-结构时，贝蒂与étale 实现函子是 t-正合的。
• 对任意构造可 1-动机 M over S，存在 S 的正则子概形分层，使得 M 在每个分层上的限制为德利涅 1-动机。
• 沿闭浸入 i:Z→S 的光滑构造可 1-动机的 !-拉回由 ω¹i!M ≃ ω¹(k₀* k₀* i*M(−1))[−2] 给出，其中 k₀ 为 Z 的余维数 1 部分的包含映射。
• 由正规曲线的边界诱导的同态 H₀(ω¹∂f_*ℚ[+1]) → ℚ 是同构，这在证明的关键步骤中蕴含了 t-正合性。