[论文解读] Constructible Sheaves and the Fukaya Category

David Nadler, Eric Zaslow|ArXiv.org|Apr 18, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文在实解析流形 $X$ 上的构造层的导出范畴与 $T^*X$ 中精确拉格朗日子流形的扭曲复形的三角化 $A_\infty$-范畴之间建立了准嵌入。通过使用与莫尔斯理论相容的微局部几何和扰动技术，作者构造了一个函子，将标准层对象映射到相应的拉格朗日子流形，实现了特征循环构造的范畴化版本，并在福克亚范畴框架内提供了构造层的几何实现。

ABSTRACT

Let $X$ be a compact real analytic manifold, and let $T^*X$ be its cotangent bundle. Let $Sh(X)$ be the triangulated dg category of bounded, constructible complexes of sheaves on $X$. In this paper, we develop a Fukaya $A_\infty$-category $Fuk(T^*X)$ whose objects are exact, not necessarily compact Lagrangian branes in the cotangent bundle. We write $Tw Fuk(T^*X)$ for the $A_\infty$-triangulated envelope of $Fuk(T^*X)$ consisting of twisted complexes of Lagrangian branes. Our main result is that $Sh(X)$ quasi-embeds into $Tw Fuk(T^*X)$ as an $A_\infty$-category. Taking cohomology gives an embedding of the corresponding derived categories.

研究动机与目标

• 在实解析流形 $X$ 上的构造层与 $T^*X$ 的福克亚范畴之间建立几何桥梁。
• 定义一个包含非紧致、精确拉格朗日子流形且具有良好渐近行为的福克亚 $A_\infty$-范畴 $Fuk(T^*X)$。
• 将构造层的导出范畴 $D_c(X)$ 准嵌入到福克亚范畴的三角化包 $TwFuk(T^*X)$ 中。
• 通过拉格朗日子流形的扰动，证明莫尔斯理论构造与福克亚范畴运算之间的相容性。
• 通过在边界上关联具有混合向内/向外方向向量场的拉格朗日子流形，将嵌入扩展到倾斜的 perverse 层。

提出的方法

• 对 $T^*X$ 进行紧化，并要求拉格朗日子流形在紧化中为子解析集，以确保其边界在无穷远处为传奇子流形。
• 使用渐近归一化的测地线流扰动来控制伪全纯圆盘模空间并确保紧致性。
• 将拉格朗日子流形 $L_{Y,m}$ 构造为子流形 $Y \subset X$ 上定义函数 $m$ 和 $n$ 的微分 1-形式的图像。
• 通过在无穷远处与测地线流对齐扰动，建立莫尔斯理论 $A_\infty$-范畴与福克亚范畴之间的相容性。
• 应用福克亚与欧的定理，将扰动设置下全纯多边形的模空间与莫尔斯范畴中的模空间对应起来。
• 通过将微分形式如 $\operatorname{Re}(dz/z^n)$ 关联到拉格朗日子流形，将嵌入扩展到倾斜的 perverse 层，这些形式在边界上表现出混合的向内/向外行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在实解析流形 $X$ 上的构造层的导出范畴与 $T^*X$ 中精确拉格朗日子流形的扭曲复形的三角化 $A_\infty$-范畴之间建立准嵌入？
• RQ2 如何系统地构造和扰动 $T^*X$ 中的非紧致、精确拉格朗日子流形，以确保伪全纯圆盘模空间的紧致性？
• RQ3 在 $X$ 上的莫尔斯理论构造与 $T^*X$ 的福克亚范畴运算之间，其对应关系在多大程度上成立？
• RQ4 如何将位于标准与余标准扩张之间的几何倾斜 perverse 层实现为拉格朗日子流形？
• RQ5 一个 $\mathcal{D}_X$-模的特征循环与其在所提议嵌入下的像之间的精确几何对应关系是什么？

主要发现

• 实解析流形 $X$ 上的构造层的导出范畴 $D_c(X)$ 可以自然地准嵌入到三角化 $A_\infty$-范畴 $DFuk(T^*X)$ 中。
• 该嵌入通过将与子流形 $Y \subset X$ 关联的标准层对象映射到精确拉格朗日子流形 $L_{Y,m}$ 实现，后者是通过仔细选择的函数 $f$ 的 $df$ 图像构造的。
• 通过在无穷远处使用归一化测地线流对拉格朗日子流形进行扰动，可确保伪全纯圆盘模空间的紧致性，从而支持福克亚范畴的定义。
• 莫尔斯理论 $A_\infty$-范畴 $Mor(X)$ 与嵌入像之间存在准同构，证实了莫尔斯构造与福克亚构造之间的一致性。
• $X$ 上的倾斜 perverse 层对应于与微分形式如 $\operatorname{Re}(dz/z^n)$ 关联的拉格朗日子流形，这些形式在边界上表现出混合的向内/向外指向行为。
• 该构造实现了特征循环映射的范畴化，将经典的微局部对应关系扩展到了 $A_\infty$-范畴层面。